¿Cómo se encuentra la media de una suma de variables dependientes?

Sé que la media de la suma de variables independientes es la suma de las medias de cada variable independiente. ¿Esto se aplica también a las variables dependientes?

La expectativa (tomando la media) es un operador lineal .

Esto significa que , entre otras cosas, $\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ para cualquiera de las dos variables aleatorias $X$ e $Y$ (para las cuales existen las expectativas), independientemente de si son independientes o no.

Podemos generalizar (por ejemplo, por inducción ) de modo que $\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$ siempre que exista cada expectativa $\mathbb{E}(X_i)$ .

Entonces sí, la media de la suma es la misma que la suma de la media, incluso si las variables son dependientes. ¡Pero tenga en cuenta que esto no se aplica a la variación! Entonces, mientras $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ para variables independientes, o incluso variables que son dependientes pero no correlacionadas , la fórmula general es $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ donde$\mathrm{Cov}$ es lacovarianzade las variables.

TL; DR:
Suponiendo que existe, la media es un valor esperado, y el valor esperado es una integral, y las integrales tienen la propiedad de linealidad con respecto a las sumas.

TS; DR:
Dado que estamos tratando con la suma de variables aleatorias , es decir, de una función de muchas de ellas, la media de la suma E ( Y n ) es con respecto a su distribución conjunta ( suponemos que existen todos los medios y son finitos) que denota X el vector multivariante de la n de rv, su densidad conjunta se puede escribir como f X ( x ) = f X 1 , . . . , $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$y su apoyo conjunto D=S X 1 ×. . . ×S X n Usando laLey del Estadístico Inconsciente tenemos laintegralmúltiple$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

.

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$

Bajo algunas condiciones de regularidad podemos descomponer la integral múltiple en una integral iterativa:$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

y usando la linealidad de las integrales podemos descomponernos en

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

y en general

j x j ∫ S X n . .

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

Reuniendo todo llegamos a

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

Pero ahora cada integral simple es el valor esperado de cada variable aleatoria por separado, entonces

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

Tenga en cuenta que nunca invocamos la independencia o no independencia de las variables aleatorias involucradas, pero trabajamos únicamente con su distribución conjunta.