R cuadrado en regresión cuantil

Estoy usando la regresión cuantil para encontrar predictores del percentil 90 de mis datos. Estoy haciendo esto en R usando el quantregpaquete. ¿Cómo puedo determinar para la regresión cuantil que indicará cuánta variabilidad están explicando las variables predictoras?$r^2$

Lo que realmente quiero saber: "¿Algún método que pueda usar para encontrar cuánta variabilidad se está explicando?". Los niveles de significación de los valores de P está disponible en la salida del comando: summary(rq(formula,tau,data)). ¿Cómo puedo obtener bondad de ajuste?

Koenker y Machado [ 1 ] describen R 1 , una medida local de bondad de ajuste en el cuantil particular ( τ ).$^{[1]}$$R^1$$\tau$

Sea $V(\tau) = \min_{b}\sum \rho_\tau(y_i-x_i'b)$

Deje β ( τ ) y ~ β ( τ ) sean los coeficientes estimados para el modelo completo, y un modelo restringido, y dejar que V y ~ V sean las correspondientes V términos.$\hat{\beta}(\tau)$$\tilde{\beta}(\tau)$$\hat{V}$$\tilde{V}$$V$

Definen la bondad de ajuste criterio .$R^1(\tau) = 1-\frac{\hat{V}}{\tilde{V} }$

Koenker da el código para aquí ,$V$

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
V <- sum(rho(f$resid, f$tau))

Así que si calculamos para un modelo con un sólo intersección ( ~ V - o en el fragmento de código de más abajo) y luego un modelo sin restricciones ( V ), podemos calcular una que es - al menos teóricamente - algo así como los habituales R 2 .$V$$\tilde{V}$V0$\hat{V}$R1 <- 1-Vhat/V0$R^2$

Editar: en su caso, por supuesto, el segundo argumento, que se colocaría en el lugar f$taude la llamada en la segunda línea de código, será el valor tauque haya utilizado. El valor en la primera línea simplemente establece el valor predeterminado.

'Explicar la varianza sobre la media' realmente no es lo que estás haciendo con la regresión cuantil, por lo que no debes esperar tener una medida realmente equivalente.

No creo que el concepto de traduzca bien en regresión cuantil. Se pueden definir diferentes cantidades más o menos análogos, como en este caso, pero no importa lo que elija, usted no tendrá la mayor parte de las propiedades de bienes R 2 tiene en regresión por mínimos cuadrados. Debe tener claro qué propiedades necesita y cuáles no; en algunos casos, es posible tener una medida que haga lo que desea.$R^2$$R^2$

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Koenker, R y Machado, J (1999), Bondad de ajuste y procesos de inferencia relacionados para la regresión cuantil, Journal of the American Statistical Association,94: 448, 1296-1310$[1]$

La medida pseudo- sugerida por Koenker y Machado (1999) en JASA mide la bondad de ajuste al comparar la suma de las desviaciones ponderadas para el modelo de interés con la misma suma de un modelo en el que solo aparece la intersección. Se calcula como$R^2$

$\hat y_i =\alpha_{\tau}+\beta_{\tau}x$ is the fitted $\tau$th quantile for observation $i$, and $\bar y=\beta_{\tau}$ is the fitted value from the intercept-only model.

$R_1(\tau)$ should lie in $[0,1]$, where 1 would correspond to a perfect fit since the numerator which consists of the weighted sum of deviations would be zero. It a local measure of fit for QRM since it depends on $\tau$, unlike the global $R^2$ from OLS. That is arguably the source of the warnings about using it: if you model fits in the tail, there's not guarantee that it fits well anywhere else. This approach could also be used to compare nested models.

Here's an example in R:

library(quantreg)
data(engel)

fit0 <- rq(foodexp~1,tau=0.9,data=engel)
fit1 <- rq(foodexp~income,tau=0.9,data=engel)

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
R1 <- 1 - fit1$rho/fit0$rho

This could probably be accomplished more elegantly.