¿Cuál es la lógica detrás del método de los momentos?

¿Por qué en "Método de momentos", equiparamos los momentos de muestra con los momentos de población para encontrar el estimador puntual?

¿Dónde está la lógica detrás de esto?

Una muestra que consta de $n$ realizaciones de variables aleatorias distribuidas de forma idéntica e independiente es ergódica. En tal caso, los "momentos muestrales" son estimadores consistentes de los momentos teóricos de la distribución común, si los momentos teóricos existen y son finitos.

Esto significa que

$$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$$

Entonces, al equiparar el momento teórico con el momento de muestra correspondiente tenemos

$$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$$

Entonces ( no depende de n )$\mu_k$$n$

$$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$$

$$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$$

Entonces lo hacemos porque obtenemos estimadores consistentes para los parámetros desconocidos.

$$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$$ $F(x)$$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$ or the sample $F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$, so that ${\rm d}F_n(x)$ is a bunch of delta-functions, and the (Lebesgue) integral with respect to ${\rm d}F_n(x)$ is the sample sum $\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$. If your functional $T(\cdot)$ is (weakly) differentiable, and $F_n(x)$ converges in the appropriate sense to $F(x)$, then it is easy to establish that the estimate is consistent, although of course more hoopla is needed to obtain say asymptotic normality.