¿Qué explica una gráfica de variable agregada (gráfica de regresión parcial) en una regresión múltiple?

Tengo un modelo de dataset de Películas y usé la regresión:

model <- lm(imdbVotes ~ imdbRating + tomatoRating + tomatoUserReviews+ I(genre1 ** 3.0) +I(genre2 ** 2.0)+I(genre3 ** 1.0), data = movies)
library(ggplot2)
res <- qplot(fitted(model), resid(model))
res+geom_hline(yintercept=0)

Lo que dio la salida:

Ahora intenté trabajar por primera vez algo llamado Ploteo Variable Agregado y obtuve el siguiente resultado:

car::avPlots(model, id.n=2, id.cex=0.7)

El problema es que traté de comprender el Gráfico de Variable Agregada usando google, pero no pude entender su profundidad, al ver el gráfico entendí que es un tipo de representación de sesgo basado en cada una de las variables de entrada relacionadas con la salida.

¿Puedo obtener más detalles como cómo justifica la normalización de datos?

Para ilustración, tomaré un modelo de regresión menos complejo $Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \epsilon$ donde las variables predictoras $X_2$ y $X_3$ pueden estar correlacionadas. Digamos que las pendientes $\beta_2$ y $\beta_3$ son positivas, por lo que podemos decir que (i) $Y$ aumenta a medida que $X_2$ aumenta, si $X_3$ se mantiene constante, ya que $\beta_2$ es positivo; (ii) $Y$aumenta a medida que $X_3$ aumenta, si $X_2$ se mantiene constante, ya que $\beta_3$ es positivo.

Tenga en cuenta que es importante interpretar los coeficientes de regresión múltiple considerando lo que sucede cuando las otras variables se mantienen constantes ("ceteris paribus"). Supongamos que acabo de retroceder $Y$ contra $X_2$ con un modelo $Y = \beta_1' + \beta_2' X_2 + \epsilon'$ . Mi estimación para el coeficiente de pendiente $\beta_2'$ , que mide el efecto sobre $Y$ de un aumento de una unidad en $X_2$ sin mantener $X_3$constante, puede ser diferente de mi estimación de $\beta_2$ de la regresión múltiple - que también mide el efecto en $Y$ de un aumento de una unidad en $X_2$ , pero hace retención $X_3$ constante. El problema con mi estimación $\hat{\beta_2'}$ es que sufre un sesgo de variable omitida si $X_2$ y $X_3$ están correlacionados.

Para entender por qué, imagine que $X_2$ y $X_3$ están correlacionados negativamente. Ahora, cuando aumento $X_2$ en una unidad, sé que el valor medio de $Y$ debería aumentar ya que $\beta_2 > 0$ . Pero como $X_2$ aumenta, si no mantenemos X 3 constante, entonces X 3 tiende a disminuir, y desde β 3 > 0 Esto tenderá a reducir el valor medio de Y . Entonces, el efecto general de un aumento de una unidad en X 2 aparecerá más bajo si permito X también varía, de ahí β ′ 2 < β 2 . Las cosas empeoran cuanto más se correlacionan X 2 y X 3 , y cuanto mayor sea el efecto de$X_3$$X_3$$\beta_3 > 0$$Y$$X_2$$X_3$ X 3 a β 3 , en un caso realmente severo, incluso podemos encontrar β ′ 2 < 0 aunque sabemos que, ceteris paribus, X 2 tiene una influencia positiva en Y !$\beta_2' < \beta_2$$X_2$$X_3$$X_3$$\beta_3$$\beta_2' < 0$$X_2$$Y$

Esperemos que ahora pueda ver por qué dibujar un gráfico de $Y$ contra $X_2$ sería una mala manera de visualizar la relación entre $Y$ y $X_2$ en su modelo. En mi ejemplo, su ojo se dibujaría en una línea de mejor ajuste con pendiente $\hat{\beta_2'}$ que no refleje el $\hat{\beta_2}$ de su modelo de regresión. En el peor de los casos, su modelo puede predecir que $Y$ aumenta a medida que $X_2$ aumenta (con otras variables mantenidas constantes) y, sin embargo, los puntos en el gráfico sugieren que $Y$ disminuye a medida que $X_2$ aumenta.

El problema es que en el gráfico simple de $Y$ contra $X_2$ , las otras variables no se mantienen constantes. Esta es la idea crucial del beneficio de una gráfica de variable adicional (también llamada gráfica de regresión parcial): utiliza el teorema de Frisch-Waugh-Lovell para "parcializar" el efecto de otros predictores. Los ejes horizontales y verticales en la gráfica quizás se entiendan más fácilmente * como " $X_2$ después de que se tienen en cuenta otros predictores" e " $Y$ después de que se tienen en cuenta otros predictores". Ahora puede ver la relación entre $Y$ y $X_2$ una vez que se han tenido en cuenta todos los demás predictores. Entonces, por ejemplo, la pendiente que puede ver en cada gráfica ahora refleja los coeficientes de regresión parcial de su modelo original de regresión múltiple.

Gran parte del valor de una gráfica de variable agregada llega en la etapa de diagnóstico de regresión, especialmente porque los residuos en la gráfica de variable agregada son precisamente los residuales de la regresión múltiple original. Esto significa que los valores atípicos y la heterocedasticidad pueden identificarse de manera similar a cuando se observa la trama de un modelo de regresión simple en lugar de múltiple. También se pueden ver los puntos influyentes; esto es útil en la regresión múltiple ya que algunos puntos influyentes no son obvios en los datos originales antes de tener en cuenta las otras variables. En mi ejemplo, un valor $X_2$ moderadamente grande puede no verse fuera de lugar en la tabla de datos, pero si el valor $X_3$ es grande a pesar de $X_2$ y $X_3$ se correlacionan negativamente, entonces la combinación es rara. "Contabilización de otros predictores", esevalor$X_2$ es inusualmente grande y se destacará de manera más destacada en su gráfico variable agregado.

$*$ Más técnicamente serían los residuos de ejecutar otras dos regresiones múltiples: los residuos de la regresión de$Y$ contra todos los predictores que no sean$X_2$ van en el eje vertical, mientras que los residuos de la regresión$X_2$ contra todos los otros predictores van en el eje horizontal. Esto es realmente lo que te dicen las leyendas de "$Y$ dado a otros" y "$X_2$ dado a otros". Dado que el residuo medio de ambas regresiones es cero, el punto medio de ($X_2$ dado otros,$Y$dado otros) solo será (0, 0), lo que explica por qué la línea de regresión en el gráfico de variable agregada siempre pasa por el origen. Pero a menudo encuentro que mencionar que los ejes son solo residuos de otras regresiones confunde a las personas (¡tal vez no sea sorprendente ya que ahora estamos hablando de cuatro regresiones diferentes!), Así que he tratado de no detenerme en el asunto. Comprenderlos como " $X_2$ dado a los demás" y " $Y$ dado a los demás" y debería estar bien.

¿Hay algo que realmente se pueda decir sobre las tendencias observadas en las parcelas?

Claro, sus pendientes son los coeficientes de regresión del modelo original (coeficientes de regresión parcial, todos los demás predictores se mantienen constantes)