Prueba de estabilidad en una serie temporal

¿Existe un método estándar (o el mejor) para probar cuando una serie temporal determinada se ha estabilizado?

Alguna motivación

Tengo un sistema dinámico estocástico que genera un valor en cada paso de tiempo . Este sistema tiene un comportamiento transitorio hasta el paso de tiempo t ^ * y luego se estabiliza alrededor de algún valor medio x ^ * con algún error. Ninguno de t ^ * , x ^ * o el error me son conocidos. Estoy dispuesto a hacer algunas suposiciones (como error gaussiano alrededor de x ^ * t ∈ N t ∗ x ∗ t ∗ x ∗ x $x_t$$t \in \mathbb{N}$$t^*$$x^*$$t^*$$x^*$$x^*$por ejemplo) pero cuanto menos supuestos a priori necesito, mejor. Lo único que sé con certeza es que solo hay un punto estable hacia el que converge el sistema, y ​​las fluctuaciones alrededor del punto estable son mucho más pequeñas que las fluctuaciones durante el período transitorio. El proceso también es monótono-ish, puedo suponer que $x_0$ comienza cerca de $0$ y sube hacia $x^*$ (quizás sobrepasando un poco antes de estabilizarse alrededor de $x^*$ ).

Los datos $x_t$ de una simulación, y necesito la prueba de estabilidad como condición de detención para mi simulación (ya que solo estoy interesado en el período transitorio).

Pregunta precisa

Dado solo el acceso al valor de tiempo $x_0 ... x_T$ para algún T finito $T$, ¿hay algún método para decir con una precisión razonable que el sistema dinámico estocástico se ha estabilizado en algún punto $x^*$ ? Puntos de bonificación si la prueba también devuelve $x^*$ , $t^*$ y el error alrededor de $x^*$ . Sin embargo, esto no es esencial ya que hay formas simples de resolver esto una vez que la simulación ha finalizado.

Enfoque ingenuo

El enfoque ingenuo que primero aparece en mi mente (que he visto como condiciones ganadoras para algunas redes neuronales, por ejemplo) es elegir los parámetros y , luego, si durante los últimos pasos de tiempo no hay dos puntos y tal que entonces concluimos que nos hemos estabilizado. Este enfoque es fácil, pero no muy riguroso. También me obliga a adivinar cuáles deberían ser los buenos valores de yE T x x ′ x ′ - x > E T $T$$E$$T$$x$$x'$$x' - x > E$$T$$E$

Parece que debería haber un mejor enfoque que mire hacia atrás en un cierto número de pasos en el pasado (o tal vez de alguna manera descarte datos antiguos), calcule el error estándar de estos datos y luego pruebe si hay algún otro número de pasos (u otro esquema de descuento) la serie temporal no ha estado fuera de este rango de error. Incluí una estrategia un poco menos ingenua pero aún simple como respuesta .

Cualquier ayuda, o referencias a técnicas estándar son apreciadas.

Notas

También publiqué esta pregunta como está en MetaOptimize y en una descripción más simulada de Computational Science .

Esta breve observación está lejos de ser una respuesta completa, solo algunas sugerencias:

• si tiene dos períodos de tiempo en el que el comportamiento es diferente, por diferentes que significar que existen diferencias en los parámetros del modelo (no relevante en esta situación particular), media o la varianza o cualquier otra característica esperada del objeto de series de tiempo ( en su caso) , puede probar cualquier método que calcule el tiempo (intervalo) de cambio estructural (o epidémico) .$x_t$
• En R hay una strucchange biblioteca para cambios estructurales en modelos de regresión lineal. Aunque se usa principalmente para probar y monitorear cambios en los parámetros de regresión lineal, algunas estadísticas podrían usarse para cambios estructurales generales en series de tiempo.

Mientras leo su pregunta "y las fluctuaciones alrededor del punto estable son mucho más pequeñas que las fluctuaciones durante el período transitorio", lo que obtengo es una solicitud para detectar cuándo y si la variación de los errores ha cambiado y, si es así, ¡cuándo! Si ese es su objetivo, entonces podría considerar revisar el trabajo o R. Tsay "valores atípicos, cambios de nivel y cambios de varianza en series de tiempo", Journal of Forecasting Vol 7, 1-20 (1988). He realizado un trabajo considerable en esta área y me parece muy productivo al proporcionar un buen análisis. Otros enfoques (análisis de regresión lineal / ols, por ejemplo) que suponen observaciones independientes y sin valores atípicos de pulso y / o sin cambios de nivel o tendencias de tiempo local y parámetros invariantes en el tiempo son insuficientes en mi opinión.

Estaba pensando más en la pregunta y pensé que daría una ligera mejora del enfoque ingenuo como respuesta con la esperanza de que la gente conozca más ideas en la dirección. También nos permite eliminar la necesidad de conocer el tamaño de las fluctuaciones.

$(T,\alpha)$$y_t = x_{t + 1} - x_{t}$$t$$t + 1$$x^*$$y$

$T$$y_t$$\alpha$$\mu$$\alpha$$E_\mu$$\sigma$$E_\sigma$$0 \in (\mu - E_\mu, \mu + E_\mu)$$y_t$$\sigma$$1$$\alpha$

$T$

Puede considerar probar hacia atrás (con una ventana móvil) para la cointegración entre xy la media a largo plazo.

Cuando xestá fracasando alrededor de la media, con suerte la prueba de Dickey Fuller aumentada en ventana, o cualquier prueba de cointegración que elija, le dirá que las dos series están cointegradas. Una vez que ingrese al período de transición, donde las dos series se alejan entre sí, es de esperar que su prueba le diga que las series en ventana no están cointegradas.

El problema con este esquema es que es más difícil detectar la cointegración en una ventana más pequeña. Y, una ventana que es demasiado grande, si incluye solo un pequeño segmento del período de transición, le dirá que la serie en ventana está cointegrada cuando no debería. Y, como puede suponer, no hay forma de saber con anticipación cuál podría ser el tamaño de ventana "correcto".

Todo lo que puedo decir es que tendrás que jugar con él para ver si obtienes resultados razonables.

$m_{t+1} - m_{t}$

Además de la obvia solución de Kalman Filter, puede usar descomposiciones wavelet y obtener un espectro de potencia localizado en tiempo y frecuencia. Esto satisface su deseo de no asumir nada, pero desafortunadamente no le brinda una prueba formal de cuándo se establece el sistema. Pero, para una aplicación práctica, está bien; solo mire el momento en que la energía en las altas frecuencias muere, y cuando los coeficientes wavelet padre se estabilizan.