Prueba para distinguir datos periódicos de datos casi periódicos

Supongamos que tengo alguna función desconocida $f$ con el dominio $ℝ$ , que sé que cumple algunas condiciones razonables como la continuidad. Sé los valores exactos de $f$ (porque los datos provienen de una simulación) en algunos puntos de muestreo equidistantes con , que puedo suponer que son lo suficientemente finos para capturar todos aspectos relevantes de , por ejemplo, puedo suponer que hay como máximo un extremo local de entre dos puntos de muestreo. Estoy buscando una prueba que me diga si mis datos cumplen con siendo exactamente periódica, es decir,$t_i=t_0 + iΔt$f f f ∃ τ : f ( t + τ ) = f ( t $i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$, con la duración del período siendo algo razonable, por ejemplo (pero es concebible que pueda hacer restricciones más fuertes, si es necesario).$Δt < τ < n·Δt$

Desde otro punto de vista, tengo datos y estoy buscando una prueba que responda a la pregunta de si existe una función periódica (que cumple las condiciones anteriores) de tal manera que . ff( t i )= x i ∀${x_0, …, x_n}$$f$$f(t_i)=x_i ∀ i$

El punto importante es que está al menos muy cerca de la periodicidad (podría ser, por ejemplo, o con ) en la medida en que cambiar un punto de datos en una pequeña cantidad puede ser suficiente para que los datos cumplan con siendo exactamente periódica. Por lo tanto, las herramientas estándar para el análisis de frecuencia, como la transformada de Fourier o el análisis de cruces por cero, no ayudarán mucho.f ( t ) : = sin ( g ( t ) · t ) f ( t ) : = g ( t ) · sin ( t ) g ′ ( t ) ≪ g ( t 0 ) / Δ t $f$$f(t) := \sin(g(t)·t)$$f(t) := g(t)·\sin(t)$$g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$$f$

Tenga en cuenta que la prueba que estoy buscando probablemente no sea probabilística.

Tengo algunas ideas sobre cómo diseñar una prueba de este tipo, pero quiero evitar reinventar la rueda. Entonces estoy buscando una prueba existente.

Como dije, tenía una idea de cómo hacer esto, de lo que me di cuenta, refiné y escribí un artículo, que ahora se publica: Chaos 25, 113106 (2015) - preprint en ArXiv .

El criterio investigado es casi el mismo que el esbozado en la pregunta: dados los datos muestreados en los puntos de tiempo , la prueba decide si hay una función y a tal que:t 0 , t 0 + Δ t , … , t 0 + n Δ t f : [ t 0 , t 0 + Δ t ] → ℝ τ ∈ [ 2 Δ t , ( n - 1 ) Δ t $x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• x $f$ no tiene más extremos locales que la secuencia , con la posible excepción de, como máximo, un extremo cercano al principio y al final de cada uno.$x$$f$

La prueba se puede modificar para tener en cuenta los pequeños errores, como los errores numéricos del método de simulación.

^{Espero que mi trabajo también responda por qué estaba interesado en tal prueba.}

Transforme los datos en dominio de frecuencia utilizando la transformada discreta de Fourier (DFT). Si los datos son perfectamente periódicos, habrá exactamente un contenedor de frecuencia con un valor alto, y otros contenedores serán cero (o casi cero, ver fuga espectral).

Tenga en cuenta que la resolución de frecuencia viene dada por . Entonces esto establece el límite para la precisión de detección.$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

Si conoce la señal periódica real, calcule

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

Luego suma los elementos de . Si está por encima de un umbral (considere el error de la aritmética de coma flotante), los datos no son periódicos.$\text{difference}$