¿La correlación distinta de cero implica dependencia?

Sabemos que la correlación cero no implica independencia. Me interesa saber si una correlación distinta de cero implica dependencia, es decir, si para algunas variables aleatorias e , ¿podemos decir en general que ?$\text{Corr}(X,Y)\ne0$$X$$Y$$f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Sí porque

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

lo cual sería imposible si $f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$ . Entonces

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

Pregunta: ¿qué sucede con las variables aleatorias que no tienen densidades?

Supongamos que e denotan variables aleatorias de modo que y son finitas. Entonces, , y son todos finitos.X Y E [ X 2 ] E [ Y 2 ] E [ X Y ] E [ X ] E [ Y $X$$Y$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$

Restringiendo nuestra atención a tales variables aleatorias, dejemos que denote la afirmación de que e son variables aleatorias independientes y la afirmación de que e son variables aleatorias no correlacionadas , es decir, . Entonces sabemos que implica , es decir, las variables aleatorias independientes son variables aleatorias no correlacionadas. De hecho, una definición de variables aleatorias independientes es que es igual a para todas las funciones mediblesA X $A$$X$$Y$B X $B$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$A$$B$$E[g(X)h(Y)]$$E[g(X)]E[h(Y)]$$g(\cdot)$ y ). Esto generalmente se expresa como Pero es lógicamente equivalente a , es decir,$h(\cdot)$

$$A \implies B.$$ $A \implies B$$\neg B \implies \neg A$

Las variables aleatorias correlacionadas son variables aleatorias dependientes .

Si , o no son finitos o no existen, entonces no es posible decir si e no están correlacionados o no en el significado clásico de variables aleatorias no correlacionadas que son aquellas para las cuales . Por ejemplo, e podrían ser variables aleatorias de Cauchy independientes (para las cuales la media no existe ). ¿Son variables aleatorias no correlacionadas en el sentido clásico?$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$X$$Y$

Aquí una prueba puramente lógica. Si entonces necesariamente , ya que los dos son equivalentes. Así, si a continuación, . Ahora reemplace con independencia y con correlación.$A\rightarrow B$$\neg B \rightarrow \neg A$$\neg B$$\neg A$$A$$B$

Piense en una declaración "si el volcán entra en erupción habrá daños". Ahora piense en un caso donde no hay daños. Claramente, un volcán no entró en erupción o tendríamos una contradicción.

Del mismo modo, pensar en un caso "Si independientes , a continuación, no correlacionada ". Ahora, considere el caso donde están correlacionados. Claramente, no pueden ser independientes, porque si lo fueran, también estarían correlacionados. Así concluye la dependencia.$X,Y$$X,Y$$X,Y$