Si es un CDF, parece que ( ) también es un CDF.
P: ¿Es este un resultado estándar?
P: ¿Hay una buena manera de encontrar una función con st , donde
Básicamente, tengo otro CDF en la mano, . En cierto sentido de forma reducida, me gustaría caracterizar la variable aleatoria que produce ese CDF.
EDITAR: Me encantaría poder obtener un resultado analítico para el caso especial . O al menos saber que tal resultado es intratable.
data-transformation
cdf
quantile-function
Lowndrul
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Respuestas:
Me gustan las otras respuestas, pero nadie ha mencionado lo siguiente todavía. El evento ocurre si y solo si { m a x ( U , V ) ≤ t } , entonces si U y V son independientes y W = m a x ( U , V ) , entonces F W ( t ) F V ( t ) así que para{U≤t, V≤t} {max(U,V)≤t} U V W=max(U,V) FW(t)=FU(t)∗FV(t) un número entero positivo (por ejemplo, α = n ) tomar X = m un x ( Z 1 , . . . Z n ) donde los Z 's son iidα α=n X=max(Z1,...Zn) Z
Para podemos cambiar para obtener F Z = F n X , entonces Xα=1/n FZ=FnX X sería esa variable aleatoria de modo que el máximo de copias independientes tenga la misma distribución que Z (y este no sería uno de nuestros amigos conocidos , en general). n Z
El caso de un número racional positivo (digamos, α = m / n ) se deduce del anterior ya que ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Zα α=m/n
Para un irracional, elija una secuencia de racionales positivos a k que converjan a α ; entonces la secuencia X k (donde podemos usar nuestros trucos anteriores para cada k ) convergerá en distribución a la X deseada.α ak α Xk k X
Puede que esta no sea la caracterización que está buscando, pero al menos le da una idea de cómo pensar en para α adecuadamente agradable. Por otro lado, no estoy seguro de cuánto más agradable puede ser: ya tienes el CDF, por lo que la regla de la cadena te da el PDF y puedes calcular los momentos hasta que se pone el sol ... Es cierto que la mayoría de las Z no tendrán una X que sea familiar para α = √FαZ α Z X , pero si quisiera jugar con un ejemplo para buscar algo interesante, podría intentarZdistribuido uniformemente en el intervalo de la unidad conF(z)=z,0<z<1.α=2–√ Z F(z)=z 0<z<1
EDITAR: escribí algunos comentarios en la respuesta @JMS, y había una pregunta sobre mi aritmética, así que escribiré lo que quise decir con la esperanza de que sea más claro.
@cardinal correctamente en el comentario a la respuesta de @JMS escribió que el problema se simplifica a o más generalmente cuando Z no es necesariamente N ( 0 , 1 ) , tener x = g - 1 ( y ) = F - 1 ( F α ( y ) ) .
Tomemos un caso especial, conectemos cosas y veamos cómo funciona. Sea una distribución Exp (1), con CDF F ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , y CDF inverso F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . Es fácil enchufar todo para encontrar g ; después de que hayamos terminado, obtenemos y = g ( x ) = -X
La gráfica de los resultados de la simulación sigue.
El código R utilizado para generar la trama (menos etiquetas) es
El ajuste se ve bastante bien, creo? ¿Quizás no estoy loco (esta vez)?
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Prueba sin palabras
La curva azul inferior esF , la curva roja superior es Fα (tipificando el caso α < 1 ), y las flechas muestran cómo ir desde z a x =g( z) .
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Module[ {y, w, a = 0.1, z = 3.24, f = ChiDistribution[7.6], xmin=0, xmax=5}, y = CDF[f,z]; w = InverseCDF[f, y^(1/a)]; Show[ Plot[{CDF[f, x],CDF[f,x]^a} , {x, xmin, xmax}, Filling->{1->{2}}], Graphics[{ Dashed, Arrow[{{z,0}, {z,y}}], Arrow[{{z,y}, {w,y}}], Arrow[{{w,y}, {w,0}}] }] ] ]
Q1) Yes. It's also useful for generating variables which are stochastically ordered; you can see this from @whuber's pretty picture :).α>1 swaps the stochastic order.
That it's a valid cdf is just a matter of verifying the requisite conditions:Fz(z)α has to be cadlag, nondecreasing and limit to 1 at infinity and 0 at negative infinity. Fz has these properties so these are all easy to show.
Q2) Seems like it would be pretty difficult analytically, unlessFZ is special
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