Intervalo de confianza para diferencia de medias en regresión

Supongamos que tengo un modelo de regresión cuadrática

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$$ con los errores satisfaciendo los supuestos habituales (independiente, normal, independiente de los valores de ). Sea las estimaciones de mínimos cuadrados.$\epsilon$$X$$b_0, b_1, b_2$

Tengo dos nuevos valores y , y estoy interesado en obtener un intervalo de confianza para .$X$$x_1$$x_2$$v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$

La estimación puntual es , y ( si me equivoco) puedo estimar la varianza por utilizando las estimaciones de varianza y covarianza de los coeficientes proporcionados por el software.$\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$ s 2=(x2-x1)2Var(b1)+(x 2 2 -x 2 1 )2Var(b2)+2(x

$$\hat{s}^2 = (x_2 - x_1)^2 \text{Var}(b_1) + (x_2^2 - x_1^2)^2 \text{Var}(b_2) + 2 (x_2 - x_1)(x^2 - x_1^2)\text{Cov}(b_1, b_2)$$

Podría usar una aproximación normal y tomar como un intervalo de confianza del 95% para , o podría usar un intervalo de confianza bootstrap, pero ¿hay alguna manera de calcular la distribución exacta? y usar eso?$\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$$v$

$p$$X$$X^2$$n$$\mathbf{X}$$n \times (p+1)$$\hat{\beta}$$p+1$$a \in \mathbb{R}^{p+1}$

$$\frac{a^T\hat{\beta} - a^T \beta}{\hat{\sigma} \sqrt{a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a}} \sim t_{n-p-1}.$$

$\beta$$t$

$p = 2$$a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$$\hat{\sigma}^2$$n-p-1$$n$