Gradiente de variación total de la magnitud de la función compleja para denoising

Digamos que tengo una función compleja (por ejemplo, una imagen de resonancia magnética) que tiene una magnitud constante casi por piezas, pero una fase no constante.$f^*$

Si tengo un problema de optimización para encontrar y configurar una función objetivo con un término de variación total (por ejemplo, para detección de ruido o compresión), generalmente tiene la siguiente forma:$f^*$

Sin embargo, dado que supongo que tiene una magnitud constante por partes, creo que podría ser mejor usar:$f$

Sin embargo, para un solucionador basado en gradiente, uno debería conocer el gradiente de obj2. El gradiente para es: . ¿Cuál es el gradiente de ?$obj_1(f)$$\text{TV}'\left(TV(f)\right)$$obj_2(f)$

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Intuitivamente, supondría algo como lo siguiente (dado que la fase no tiene influencia en , deje la fase "intacta"):$obj_2$

Sin embargo, mi conocimiento en análisis complejo es muy limitado y no estoy seguro de si esto tiene sentido.

El problema con $\left|f\right|$es que, dado que no es analítico, no se aplica la definición estándar de derivada compleja. Una solución es usar derivados de Wirtinger:

http://en.wikipedia.org/wiki/Wirtinger_derivatives

Una cuenta detallada del cálculo de Wirtinger para problemas de procesamiento de señal es

http://arxiv.org/abs/0906.4835

Otra opción (probablemente más simple) es tratar la imagen compleja como una imagen de dos canales (real, imag) y usar la definición de derivada para campos vectoriales. Este documento tiene una explicación muy clara sobre cómo hacer esto:

Lee, H.-C .; Cok, DR; "Detección de límites en un campo vectorial" (IEEE Transactions on Signal Processing, vol.39, no.5, pp.1181-1194, mayo de 1991)