Reemplazar "e" en la fórmula de Euler con otro número

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¿La fórmula de Euler sigue siendo válida si utilizamos cualquier número real que no sea la constante ? Por ejemplo, reemplazar con 5 haría que la fórmula se vea así: . $e$ $e$ $5^{it}$

Probé esta idea en Matlab y reemplacé $e$ con algunos otros números reales (por ejemplo, 1.5, 10, 2.1) y cada vez que la trama seguía mostrando lo que parecían coseno y ondas sinusoidales. La frecuencia de cos y sin estaba cambiando dependiendo de la base.

Aquí está más o menos mi enfoque:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

signal-analysis math complex cosine curioso
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Digamos que está interesado en Tenga en cuenta que por lo que se puede escribir como

\begin{matrix} (1) & M^{j 2 π f_{0} t} . \end{matrix}

$M^{j2\pi f_0 t}. \tag{1}$

METRO = {mi}^{Iniciar sesión METRO},

$M = e^{\log M},$

(1)

$(1)$

\begin{aligned} {METRO}^{j 2 π F_{0 0} t} & = {({mi}^{Iniciar sesión METRO})}^{j 2 π F_{0 0} t} \\ = {mi}^{j 2 π (F_{0 0} Iniciar sesión METRO) t} \\ = \cos (2 π (F_{0 0} Iniciar sesión METRO) t) + j pecado (2 π (F_{0 0} Iniciar sesión METRO) t), \end{aligned}

$\begin{align} M^{j2\pi f_0 t} &= \left( e^{\log M} \right) ^ {j2\pi f_0 t} \\ &= e^{j2\pi (f_0\log M) t} \\ &= \cos(2\pi (f_0\log M) t) + j \sin(2\pi (f_0\log M) t), \end{align}$ que es una sinusoide compleja con frecuencia . Es por eso que usar lugar de da como resultado un cambio en la frecuencia.

f_{0} \log M

$f_0 \log M$

M

$M$

e

$e$

MBaz
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Es una pregunta interesante. Vamos a ver qué números distinto de cero complejos tienen la propiedad de que "actúan como " en la fórmula clásica, es decir, que para todos complejo . Por conveniencia, supongamos que podemos escribir $w$ $e$

{mi}^{z} = w^{z}

$e^z = w^z$

z = x + i y

$z=x+iy$

w = r {mi}^{yo t}

$w=re^{it}$

El símbolo toma los posibles valores múltiples $w^z$

w^{z} = {mi}^{z Iniciar sesión w} = {mi}^{(X + yo y) (\overset{posibles valores de Iniciar sesión w}{\overset{⏞}{En r + yo t + 2 k π yo}})} = {mi}^{(X En r - y t - 2 k π y) + yo (y En r + X t + 2 k π X)}

$w^z =e^{z\log w} = e^{(x+iy)(\overbrace{\ln r + it + 2k\pi i}^{\textrm{possible values of $\log w$}})} =e^{(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)}$

Esto significa que tendremos cuando para algunos . Pero esto significa (al comparar partes reales e imaginarias en ambos lados) Esto puede suceder para todas las (es decir, todas las ) solo si y . $e^z=w^z$

(X + y yo) - [(X En r - y t - 2 k π y) + yo (y En r + X t + 2 k π X)] = 2 π norte yo

$(x+yi)-[(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)] = 2\pi n i$

n

$n$

{\begin{cases} X = X En r - y t - 2 k π y \\ y = y En r + X t + 2 k π X + 2 π norte \end{cases}

$\begin{cases}x=x\ln r - yt-2k\pi y\\y=y\ln r + xt +2k\pi x + 2\pi n \end{cases}$

z

$z$

x, y

$x,y$

r = e

$r=e$

t = k = n = 0

$t=k=n=0$

Pero eso significa , por lo que no hay otro número complejo que haga el truco. $w =e\cdot e^{0i}=e$ $w$

MPW
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1

Para cualquier a, porque " " y "ln (x)" son "funciones inversas. Entonces . Entonces $a= e^{ln(a)}$ $e^x$

{una}^{yo t} = {mi}^{En ({una}^{yo t})} = {mi}^{yo t En (una)}

$a^{it}= e^{\ln(a^{it})}= e^{it \ln(a)}$

{una}^{yo t} = {mi}^{yo (t En (una))} = \cos (t En (una)) + yo pecado (t En (una)) .

$a^{it}= e^{i (t \ln(a))}= \cos(t \ln(a))+ i \sin(t \ln(a)).$

HallsofIvy
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Para positivo

a

$a$

Laurent Duval

@HallsofIvy: Esto no es del todo correcto. Incluso suponiendo que , toma múltiples valores: (tomar recupera su valor específico). Si es negativo o no es real, es aún más complicado.

a > 0

$a>0$

a^{i t}

$a^{it}$

{una}^{yo t} = {mi}^{yo t (En una + 2 π k yo)} = {mi}^{- 2 π k t + yo t En una} = {mi}^{- 2 π k t} (\cos (t En una) + yo pecado (t En una))

$a^{it}=e^{it(\ln a + 2\pi ki)} = e^{-2\pi kt + it\ln a} = e^{-2\pi kt}(\cos(t\ln a) + i\sin(t\ln a))$

k = 0

$k=0$

a

$a$

MPW

Reemplazar "e" en la fórmula de Euler con otro número

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