¿Cuál es una medida exacta de escasez?

Actualmente estoy trabajando en detección comprimida y representación escasa de señales, específicamente imágenes.

Con frecuencia me preguntan "¿qué es la definición de dispersión?". Respondo "si la mayoría de los elementos de una señal son cero o cercanos a cero, en algún dominio como Fourier o Wavelet, entonces esta señal es escasa en esa base". pero siempre hay un problema en esta definición, "¿qué significa la mayoría de los elementos? ¿Es 90 por ciento? ¿80 por ciento? ¡92.86 por ciento ?!" Aquí es donde surge mi pregunta, ¿hay alguna definición exacta, es decir, numérica, de escasez?

" ¿Hay alguna definición exacta, es decir, numérica, de escasez? " Y por numérica , entiendo tanto computable como prácticamente "utilizable". Mi opinión es que: todavía no, como mínimo, no hay consenso, pero hay algunos contendientes dignos. La primera opción " contar solo términos distintos de cero " es precisa, pero ineficiente (sensible a la aproximación numérica y al ruido, y muy compleja de optimizar). La segunda opción "la mayoría de los elementos de una señal son cero o cercanos a cero " es bastante imprecisa, ya sea en "la mayoría" y "cerca de".

Por lo tanto, " una medida exacta de la escasez " sigue siendo esquiva, sin aspectos más formales. Un intento reciente de definir la escasez se realizó en Hurley y Rickard, 2009 Comparing Measures of Sparsity , IEEE Transactions on Information Theory.

Su idea es proporcionar un conjunto de axiomas que una buena medida de escasez debe cumplir; por ejemplo, una señal $x$ multiplicada por una constante diferente de cero, $\alpha x$ , debe tener la misma dispersión. En otros términos, una medida de dispersión debe ser $0$ homogénea. Curiosamente, el proxy $\ell_1$ en detección de compresión, o en regresión de lazo es $1$ homogéneo. Este es de hecho el caso para cada norma o cuasi-norma $\ell_p$ , incluso si tienden a la medida de conteo (no robusta) $\ell_0$ como $p\to 0$ .

Entonces detallan sus seis axiomas, realizan cálculos, tomados del análisis de riqueza:

• Robin Hood (tomar de los ricos, dar a los pobres reduce la escasez),
• Escalado (la multiplicación constante preserva la escasez),
• Rising Tide (agregar la misma cuenta distinta de cero reduce la escasez),
• Clonación (duplicar datos preserva la escasez),
• Bill Gates (Un hombre cada vez más rico aumenta la escasez),
• Bebés (agregar valores cero aumenta la dispersión)

$\ell_1/\ell_2$$p$$q$ $\ell_p/\ell_q$$x$$0< p\le q$

$1$$x$

$c_{(k)}$$C_\alpha .(k)^{-\alpha}$$\alpha$