¿La señal delta de Dirac (impulso) es una señal de potencia o una señal de energía?

Soy un principiante, lo siento mucho si esta pregunta es muy fundamental. El impulso de Dirac tiene un área finita, es decir, = 1. Pero he oído que$|\delta(t)|^2$es indefinido. Entonces el área debajo$|\delta(t)|^2$ también está indefinido y la señal no existe en todo momento $t$entonces no puede ser una señal de potencia. Así que mi suposición es que ni la señal de Energía ni la de Energía. Estoy en lo cierto?

[Se agregó una referencia sobre el teorema de imposibilidad de Schwartz para productos de distribución]

El continuo Dirac delta no se considera una verdadera función o señal, sino una distribución. Desde su página de wikipedia :$\delta$

La función delta también se puede definir en el sentido de distribuciones exactamente como se indicó anteriormente en el caso unidimensional. [25] Sin embargo, a pesar del uso generalizado en contextos de ingeniería, (2) debe manipularse con cuidado, ya que el producto de las distribuciones solo puede definirse en circunstancias bastante limitadas .

Se puede definir de modo que, para cualquier función satisfaga algunas propiedades importantes, y para :$f$$a\in \mathbb{R}$

$$\int f(t)\delta(t-a)dt=f(a).$$

Que yo sepa, esas propiedades importantes no son satisfechas por , por lo que no se puede reemplazar directamente por y obtener un resultado significativo. Hasta donde se sabe, el producto de dos distribuciones de Dirac no está bien definido, a menos que uno hable de versiones dimensionales, o las llamadas manipulaciones "formales" como las que se usan en física, por ejemplo, o matemáticas más complicadas. Nicholas Wheeler proporciona una breve descripción de la producción simplificada de las identidades de la función delta de Dirac . Si uno quiere profundizar más, sugeriría La teoría de las funciones generalizadas de Colombeau , por Ta Ngoc Tri, 2005:$\delta$$f$$\delta$$n$

Poco después de la introducción de su propia teoría, L. Schwartz publicó un artículo en el que mostró un resultado imposible (ver [Sch54]) sobre el producto de dos distribuciones arbitrarias.

Un resultado es el resultado de imposibilidad de Schwartz . (De alguna manera) dice que si se quiere abarcar la derivada de funciones continuamente diferenciables mientras se mantiene la regla de derivación de Leibniz, se obtiene .$\delta^2(|x|)=0$

Sin embargo, desde un punto de vista informal, a veces utilizado en DSP (y en física), este "producto" no es, hasta donde yo sé, ni energía ni potencia. Sin embargo, desde un punto de vista lógico, si no existe, uno podría afectar a este "producto" muchas propiedades ...

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$\delta(x)$ no existe realmente en absoluto para cualquier particular, . Como dijo Laurent Duval, Dirac no es una función , sino toda la asignación es una función funcional que asigna funciones a los valores de la función evaluada en algún punto en particular. Posiblemente, tendría sentido reflejar eso con un dedicado símbolo, como (La razón por la que tiene sentido escribir como si fuera un es que cualquier$x$$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

$$\backslash f \mapsto f(a) \equiv ``\int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\: f(t) \cdot \delta(t-a)"$$ $$\int\!\!\!\!\delta_a\mathrm{d}t\: f(t).$$ $\delta$$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$La función cuadrada integrable da lugar a un funcional de manera similar, a saber, De hecho, eso es solo el producto escalar entre y ; el espacio de funciones es un espacio de Hilbert El beneficio de la notación Dirac-delta es que le permite escribir superposiciones de tales funciones de función real y funciones de Dirac, por ejemplo, el impulso de paso alto $g$ $$\gamma : L^2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}, \quad \gamma(f) = \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\:f(t)\cdot g(t).$$ $L^2$$f$$g$$L^2$ $$\delta(t) - \sqrt{\frac{\omega_0}{2\pi}}\cdot\exp(-t^2\cdot\tfrac{\omega_0^2}2).$$ Esa es una función que nunca se puede implementar en la práctica, solo aproximada, pero captura el concepto de un filtro de paso alto que realmente no se preocupa por la respuesta al impulso como tal, sino por el resultado de doblarlo con real real. señales mundiales, y es el plegamiento el que proporciona la integral que define el significado del .$\delta$

Entonces, debido a que no es una función, no hay razón para creer que podría tener sentido escribir ya que en esa expresión el delta no aparece exactamente una vez debajo de una integral que corre sobre su variable . Incluso si escribiera una integral a su alrededor, siempre tendría dos deltas con el mismo parámetro, y eso no está definido.$\delta$$|\delta(t)|^2$

Resumen: tienes razón, Dirac no es una señal, ni potencia ni energía.

Tiene razón en que el cuadrado de un impulso delta de Dirac no está definido, por lo que la energía y el poder no se pueden definir de la manera habitual para señales que contienen impulsos de Dirac.

Sin embargo, en analogía con las señales de tiempo discreto, es común definir la energía y la potencia de una señal que consiste en impulsos de Dirac de la siguiente manera. Si una señal viene dada por$x(t)$

$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(t-t_n)\tag{1}$$

entonces su energía se puede definir como

$$E_x=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|a_n|^2\tag{2}$$

y su poder puede definirse por

$$P_x=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\sum_{n:\;|t_n|<T}|a_n|^2\tag{3}$$

Usando las definiciones y , una señal que consiste en impulsos de Dirac puede ser una señal de energía ( ), o una señal de potencia ( , ), o ninguna de las dos (ambos y no existen).$(2)$$(3)$$E_x<\infty$$E_x\rightarrow\infty$$P_x<\infty$$(2)$$(3)$

Aquí tiene buenas respuestas, pero estoy tratando de explicarlo de una manera simple: un impulso es cualquier señal que sea completamente cero, excepto por un pequeño toque de forma arbitraria. Por ejemplo, un impulso a un transmisor de microondas puede tener que estar en el rango de picosegundos porque la electrónica responde en nanosegundos. En comparación, un volcán que entra en erupción durante años puede ser un impulso perfectamente bueno para los cambios geológicos que tardan milenios. ¡A los matemáticos no les gusta estar limitados por ningún sistema en particular, y comúnmente usan el término impulso para referirse a una señal que es lo suficientemente corta como para ser un impulso para cualquier sistema! Esa es una señal que es infinitesimalmente estrecha y nuevamente los matemáticos definen un impulso como: 1. señal que es infinitesimalmente breve 2. El pulso que ocurre en el tiempo cero y 3. El pulso debe tener un área de uno [Por Steven W. Smith]