¿Cuál es la relación entre el sigma en el laplaciano de Gauss y los dos sigmas en la diferencia de Gauss?

Entiendo que un filtro laplaciano de Gauss puede ser aproximado por un filtro de diferencia de Gauss, y que la relación de los dos sigmas para este último debe ser 1: 1.6 para la mejor aproximación. Sin embargo, no estoy seguro de cómo las dos sigmas en la Diferencia de gaussianos se relacionan con la sigma para el laplaciano de Gauss. ¿La sigma más pequeña en la primera es igual a la sigma de la segunda? ¿Es la sigma más grande? ¿O es la relación algo más?

Entiendo que un filtro laplaciano de Gauss puede ser aproximado por un filtro de diferencia de Gauss, y que la relación de los dos sigmas para este último debe ser 1: 1.6 para la mejor aproximación

En teoría, cuanto menor es la relación entre dos sigmas, mejor es la aproximación. En la práctica, obtendrá errores numéricos en algún momento, pero siempre que utilice números de coma flotante, los valores más pequeños que 1.6 le darán una mejor aproximación.

Para ilustrar, he trazado una sección transversal de LoG y DoG para algunos valores de k en Mathematica:

Como puede ver, k = 1.6 no es una aproximación ideal. Por ejemplo, k = 1.1 daría una aproximación mucho más cercana.

Pero generalmente desea calcular aproximaciones de LoG para un rango de sigmas. (De lo contrario, ¿por qué molestarse con la aproximación DoG? Calcular una sola imagen filtrada LoG no es más costoso que calcular una sola imagen filtrada DoG). Por lo tanto, el valor de k generalmente se elige para que pueda calcular una serie de filtros gaussianos filtrados imágenes con sigmas s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ..., y luego calcular las diferencias entre gaussianos adyacentes. Entonces, si elige una k más pequeña, tendría que calcular más "capas" de gaussianos para el mismo rango sigma. k = 1.6 es una compensación entre querer una aproximación cercana y no querer calcular demasiados gaussianos diferentes.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo las dos sigmas en la Diferencia de gaussianos se relacionan con la sigma para el laplaciano de Gauss. ¿La sigma más pequeña en la primera es igual a la sigma de la segunda?

De las fórmulas en la página wiki @Libor vinculada a, puede ver que , por lo que el aproximado de un LoG para algunos sigma, necesita dos gaussianos con sigmas y (al menos en el límite ). O, en términos de k:$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

Tal vez las fórmulas aquí pueden ayudarte.

Dado que la representación del espacio de escala satisface la ecuación de difusión, el LoG puede calcularse como la diferencia entre dos segmentos de espacio de escala.

Por lo tanto, al derivar la fórmula DoG, primero aproximamos el LoG con diferenciación finita. Creo que la proporción específica para sigma proviene del hecho de que se toma un paso unitario en escala para aproximarse a LoG en primer lugar.