Explicación intuitiva de la correlación cruzada en el dominio de frecuencia.

Según el teorema de correlación cruzada: la correlación cruzada entre dos señales es igual al producto de la transformada de Fourier de una señal multiplicada por el conjugado complejo de la transformada de Fourier de otra señal. Después de hacer esto, cuando tomamos el ifft de la señal del producto, obtenemos un pico que indica el cambio entre dos señales.

¿No puedo entender cómo funciona esto? ¿Por qué obtendría un pico que indica el cambio entre dos señales? Obtuve las matemáticas de: http://mathworld.wolfram.com/Cross-CorrelationTheorem.html pero no puedo entender lo que esto significa intuitivamente. ¿Alguien puede dar alguna explicación o señalarme los documentos correctos?

¡Gracias!

$x(t)$$y(t)$$X(f)$$Y(f)$

Puede leer más sobre la derivación de este teorema en el enlace de Wikipedia anterior. Ahora, la convolución es una operación muy importante para los sistemas lineales en sí misma, por lo que la teoría sobre sus propiedades está bien desarrollada.

$x(t)$$y(t)$

En su ejemplo, está calculando lo siguiente:

Recuerde que en el dominio de Fourier, la conjugación compleja es equivalente a la inversión de tiempo en el dominio de tiempo (esto se deduce directamente de la definición de la transformada de Fourier). Por lo tanto, usando la primera ecuación dada anteriormente, podemos afirmar que:

$x(t)$$y(t)$

% Matlab function for frequency domain cross correlation
function [Lag,C]=xcorrf(X,Y,L)
% X, Y ---> Input vectors 
% L --->  maximum lag (must be less than minimum of (length of X, Y)
% C ---> correlation vector
% Lag ---> lag times  
X=X(:);
Y=Y(:);
s1=size(X);
s2=size(Y);
D=min(s1(1,1),s2(1,1));
for i=1:L
    X1=ifft(fft(X(1:D-i,:)).*conj(fft(Y(i+1:D,1))));
    C(i,1)=X1(1,1);
end

C=flipud(C);
X1=ifft(fft(X(1:D,:)).*conj(fft(Y(1:D,1))));
C(L+1,1)=X1(1,1);
for i=1:L
    X1=ifft(fft(Y(1:D-i,:)).*conj(fft(X(i+1:D,1))));
    C(i+L+1,1)=X1(1,1);
end
Lag=-L:1:L;
end