¿Qué se entiende por "momento espectral"?

He consultado los oráculos todopoderosos de google y wiki, pero parece que no puedo encontrar una definición para la frase "el momento del espectro".

Un texto de trabajo heredado que estoy leyendo lo usa de la siguiente manera, definiendo el número de cruces por cero por unidad de tiempo de la siguiente manera:

$$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$$

Luego continúa para definir aún más el número de extremos por unidad de tiempo según lo dado por:

$$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$$

donde finalmente dice, "donde es el ésimo momento del espectro".$m_i$$i$

¿Alguien se encuentra con esto antes? ¿Cuál es el "momento" de un espectro? Nunca he oído hablar de eso en la literatura de DSP antes.

Asumir señales de paso bajo en todo momento.

Dado que suele tener un valor complejo, utilizar el espectro de potencia es probablemente una mejor idea, especialmente si desea obtener raíces cuadradas, etc. Por lo tanto, se define como Tenga en cuenta en particular que es la potencia en la señal, y Ahora, el ancho de banda de Gabor de una señal viene dado por Para poner esto en una perspectiva ligeramente diferente,| X ( f ) | 2 m k m k = ∫ ∞ - ∞ f k | X ( f ) | 2 d f . m 0 m 1 = 0 G G = $X(f)$$|X(f)|^2$$m_k$

$$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$$ $m_0$$m_1 = 0$ $G$ $$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$$ $|X(f)|^2$es una función no negativa, y el "área bajo la curva ", a saber. , es la potencia en la señal. Por lo tanto, es efectivamente una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria media cero cuya varianza es .$|X(f)|^2$$m_0$$|X(f)|^2/m_0$ $$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$$

Una sinusoide de frecuencia Hz tiene cruces por cero por segundo. Dado que Mohammad está leyendo un libro heredado, bien podría estar haciendo todo esto en frecuencia de radianes , y por lo tanto, si es el ancho de banda de Gabor en radianes por segundo, debemos dividir por dando $G$$2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$$\omega$$G$$2\pi$

$$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$$

Volviendo a los extremos, la derivada de tiene la transformada de Fourier y el espectro de potencia . Su ancho de banda de Gabor es Usando los mismos argumentos que antes (dos cruces por cero de la derivada por período es lo mismo que dos extremos por período), radianes versus frecuencia hertziana, obtenemos $x(t)$$j2\pi f X(f)$$|2\pi f X(f)|^2$

$$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$$ $$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$$

No sé si he escuchado ese término antes, pero interpretaría que el término "momento" tiene un significado análogo a los conceptos físicos de centro de masa y primer y segundo momento de área:

$$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$$

Es decir, el contenido en cada frecuencia en el espectro es ponderado por la -ésima potencia de la frecuencia y el resultado se resume en todo el espectro. No estoy seguro de si esto es lo que desea, pero es un concepto de un momento para un espectro (o cualquier función de una sola variable, para el caso).$k$

Las relaciones que mencionas son ejemplos de momentos estandarizados o -moments . Los momentos en el procesamiento de la señal son similares a los momentos para la física y los momentos en las estadísticas. En física, la noción de momento es:$L$

una expresión que involucra el producto de una distancia y otra cantidad física, y de esta manera explica cómo se ubica u organiza la cantidad física

Puede parecer una generalización del concepto del centro de masa. La media, la desviación estándar, o la asimetría y la curtosis son nociones derivadas, y se pueden calcular en cualquier dominio, como el tiempo o la frecuencia. Básicamente, el momento de una función sobre el dominio , alrededor del valor , se define en forma integral por:$\alpha$$g$$D$$c$

$$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$$ o cuando necesario. Clásicamente, para señales reales , debido a la simetría, en el dominio de Fourier con , los momentos espectrales se definen con respecto a la energía normalizada de potencia ( ) $$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$$ $x$$X(f)$$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$ $$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$$

Ver por ejemplo: Cálculo eficiente de momentos espectrales para la determinación de estadísticas de respuesta aleatoria para momentos espectrales: "Los momentos espectrales se calculan a partir de la PSD unilateral".

Convertidos en proporciones de momentos , pueden convertirse en indicadores libres de escala de unidades de comportamiento de funciones, incluidos extremos, cruce por cero o escasez (con por ejemplo) .$L$m 1 / m 2$m_1/m_2$