La normalización es básicamente un preacondicionamiento para disminuir el número de condición de la matriz (cuanto mayor es el número de condición, más cerca está la matriz de la matriz singular).A
La transformación de normalización también está representada por una matriz en el caso de la estimación de homografía, y esto resulta ser utilizable como una buena matriz de preacondicionador. La razón es que es más elaborado y se explica brevemente en el libro de H&Z (4.4.4, p. 107: ¿Por qué es esencial la normalización? ) O con más detalle en el documento " En defensa del algoritmo de ocho puntos ".
En pocas palabras, la matriz consiste en productos de coordenadas de imagen que pueden tener diferentes escalas. Si la escala difiere en un factor de , los productos difieren en un factor de .A10102
Los datos de coordenadas de origen y destino suelen ser ruidosos . Sin normalización, los datos de la fuente pueden tener una variación mayor de dos órdenes de magnitud que la del objetivo (o viceversa).
La estimación de la homografía generalmente encuentra parámetros en un sentido de mínimos cuadrados; por lo tanto, la mejor estimación estadística se encuentra solo si las variaciones de los parámetros son las mismas (o conocidas de antemano, pero es más práctico solo para normalizar la entrada).
A los solucionadores directos no les gustan los problemas mal escalados porque aparecen inestabilidades numéricas (por ejemplo, dividir un número muy grande por un número muy pequeño conduce fácilmente a un desbordamiento numérico).
Los solucionadores iterativos luchan con matrices mal condicionadas al necesitar más iteraciones.
Por lo tanto, la normalización es esencial no solo para la estabilidad numérica, sino también para una estimación más precisa en presencia de ruido y una solución más rápida (en el caso de un solucionador iterativo).
El artículo de Wikipedia dice:
"Lo que distingue el problema de la transformación lineal directa ... es el hecho de que los lados izquierdo [X] y derecho [AY] de la ecuación de definición [X = AY] pueden diferir en un factor multiplicativo desconocido que depende de k"
En el anterior X, A, Y son matrices.
Entonces, para evitar tener que estimar el factor, simplemente normalice todos los datos que tenga.
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Es una cuestión de precisión numérica. Al normalizar el conjunto de datos, centra sus datos y le da variación de unidad. Estas condiciones son mejor manejadas por el solucionador entonces.
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