¿Existen atajos para sistemas numéricamente aproximados de ecuaciones diferenciales ordinarias cuando son autónomos?

Los algoritmos existentes para resolver ODE manejan funciones , dondey∈Rn. Pero en muchos sistemas físicos, la ecuación diferencial es autónoma, entoncesd$\frac{dy}{dt} = f(y, t)$$y \in \mathbb R^n$,y∈Rn, con latfuera. Con este supuesto simplificador, ¿qué mejoras se pueden ver en los métodos numéricos existentes? Por ejemplo, sin=1, el problema se convierte ent=∫d$\frac{dy}{dt} = f(y)$$y \in \mathbb R^n$$t$$n=1$ y pasamos a una clase completamente diferente de algoritmos para integrar integrales unidimensionales. Paran>1, la mejora máxima posible es reducir la dimensión deyen 1, porque el caso dependiente del tiempo se puede simular agregandotay, cambiando el dominio deydeRnaRn+1.$t = \int \frac{dy}{f(y)}$$n>1$$y$$t$$y$$y$$\mathbb R^n$$\mathbb R^{n+1}$

Yo diría que una mejora significativa es que en el alcance de los enfoques de paso de tiempo, donde propaga $y_n \rightarrow y_{n+1}=\mathcal{U}(y_n)$ utilizando un mapa de solución $\mathcal{U}$ , puede determinar el propagador (o al menos partes de ) una vez y luego reutilícela en cada paso del tiempo.

Por ejemplo, en el caso lineal, tendría $\partial_t y = A y$ , donde $A$ es una matriz. El operador de solución $\mathcal{U}(y) = \exp(A \Delta t)y$ consiste principalmente en una matriz exponencial. Para sistemas autónomos, esta costosa evaluación exponencial de matriz se requiere solo una vez para la propagación completa, en contraste con un sistema dependiente del tiempo, en el que debe realizar esta evaluación en cada paso de tiempo.

Para los sistemas no lineales no es tan fácil, pero dependiendo del algoritmo se pueden reutilizar ciertas evaluaciones costosas.