Múltiples lazos de control con efectos superpuestos

Estoy familiarizado con el uso de PID para realizar el control de bucle cerrado cuando hay una sola salida y una sola señal de error de qué tan bien la salida está logrando el punto de ajuste deseado.

Supongamos, sin embargo, que hay múltiples bucles de control, cada uno con una salida y una señal de error, pero los bucles no son completamente independientes. En particular, cuando un bucle aumenta su señal de actuador, esto cambia el impacto de la salida de otros bucles en el sistema.

Para un ejemplo concreto, imagine una fuente de voltaje en serie con una resistencia, aplicando un voltaje a través de un sistema de seis resistencias ajustables en paralelo. Podemos medir la corriente a través de cada resistencia y queremos controlar la corriente de cada resistencia de forma independiente ajustando la resistencia. Por supuesto, el truco aquí es que cuando ajusta la resistencia de una resistencia, cambia la resistencia general del conjunto paralelo, lo que significa que cambia la caída de voltaje debido al divisor con la resistencia de la fuente de voltaje y, por lo tanto, cambia la corriente a través de las otras resistencias .

Ahora, claramente tenemos un modelo ideal para este sistema, por lo que podemos predecir qué resistencia deberíamos usar para todas las resistencias simultáneamente resolviendo un conjunto de ecuaciones lineales. Sin embargo, el objetivo del control de bucle cerrado es que queremos corregir varios errores / sesgos desconocidos en el sistema que se desvían de nuestro modelo ideal. La pregunta entonces: ¿cuál es una buena manera de implementar el control de bucle cerrado cuando tiene un modelo con este tipo de acoplamiento cruzado?

Típicamente con un m ultiple i Nput, m ultiple o utput (MIMO) sistema, un ingeniero de control utiliza un controlador de retroalimentación de estado . Este estilo de controlador aprovecha un modelo de espacio de estado del sistema y generalmente toma la forma:

$$\dot{x}=\mbox{A}x+\mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

donde es un vector de estados, es un vector de entradas, es un vector de salidas, y la derivada del tiempo de los estados, , muestra cómo evolucionan los estados a lo largo del tiempo, según lo determinado por combinaciones de estados y entradas . Las salidas también están determinadas por una interacción entre estados y entradas, pero las salidas pueden ser cualquier combinación, por lo que el estado de salida y las matrices de entrada son diferentes: y .u y ˙ x A B C $x$$u$$y$$\dot{x}$$\mbox{A}$$\mbox{B}$$\mbox{C}$$\mbox{D}$

No entraré en una gran cantidad de detalles con respecto a los controles de retroalimentación de estado, pero en general, las matrices "mapean" o asocian un estado o entrada particular a otro estado o entrada. Por ejemplo, si desea modelar un sistema de ecuaciones diferenciales no relacionadas, obtendría algo como:$\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$

˙ x 1=k1x

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]$$ que representa: $$\dot{x}_1 = k_1 x_1 \\ \dot{x}_2 = k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 = k_3 x_3 \\ $$

Si desea agregar la entrada a la ecuación para y la entrada a , entonces puede agregar un término :˙ x 1 u 2 ˙ x 3 B$u_1$$\dot{x}_1$$u_2$$\dot{x}_3$$\mbox{B}u$

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$$

Si desea conservar esto, pero cree que el estado contribuye a cómo cambia , puede agregar esa interacción:x $x_1$$x_2$

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ \boxed{ k_{x_1 \rightarrow x_2} } & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$$

Cuando escribe esto ahora, obtiene:

$$\begin{array} \\ \dot{x}_1 & = & k_1 x_1 + u_1 \\ \dot{x}_2 & = & k_{x_1 \rightarrow x_2}x_1 + k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 & = & k_3 x_3 + u_2 \end{array}$$

Puede seguir acumulando complejidad según lo requiera su sistema. Una vez que tenga un modelo, para los controles de retroalimentación de estado, debe asegurarse de que el sistema sea lineal , ya que el sistema no tiene funciones trigonométricas o un estado que se multiplique a sí mismo u otro estado, y asegúrese de que sea invariante en el tiempo , en el sentido de que las matrices no cambian con el tiempo, no hay función de (t) en ellas. Es posible que pueda hacer algunas simplificaciones, como una aproximación de ángulo pequeño para ayudar a obtener su matriz en la forma LTI requerida para el siguiente paso.$\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$$\mbox{A}$

Ahora se puede "enmascarar" todo el sistema en las ordenadas se muestran dos ecuaciones de primer, ocultando la totalidad matriz con sólo la letra 'A', etc. Con la transformada de Laplace se puede (mano de onda) evaluar la incontrolada , dinámica de bucle abierto del sistema. Para ello, busca los polos del sistema , que en términos indican la respuesta del sistema.$\mbox{A}$

También puede evaluar el sistema para ver si es controlable , lo que significa que puede usar sus entradas para alterar todos los estados de una manera única, y para ver si es observable , lo que significa que realmente puede determinar cuáles son los valores de los estados son

Si el sistema es controlable, puede tomar información sobre los estados, , e introducirla en el sistema, utilizando la información que tiene sobre los estados para llevarlos al valor deseado. Usando solo las dos ecuaciones iniciales para mayor claridad, cuando agrega la señal de control a la entrada que obtiene:$-\mbox{G}x$

$$\dot{x} = \mbox{A}x + \mbox{B}(u - \mbox{G}x) \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

que se convierte en:

$$\dot{x} = \mbox{A}x - \mbox{BG}x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

que se puede reorganizar como:

$$\dot{x} = [\mbox{A}-\mbox{BG}]x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

Donde antes la respuesta del sistema estaba dirigida por la matriz , ahora está dirigida por . Puede evaluar nuevamente los polos a través de la transformación de Laplace, pero ahora tiene una matriz de ganancia que puede usar para ajustar el controlador, colocando los polos donde desee, lo que establece que la respuesta de tiempo sea lo que desee.$\mbox{A}$$\mbox{A-BG}$$\mbox{G}$

El proceso continúa, con la configuración de los observadores para comparar la salida real del sistema con la salida predicha del modelo . Aquí es donde es importante tener en cuenta que las salidas no tienen que ser la misma combinación de estados que usa en la ecuación diferencial de estado: donde sus estados pueden ser una corriente, su salida puede ser un voltaje ( ) Puede hacer una comparación con una señal medible en su sistema real.$y$$\hat{y}$$R\times I$

Como he dicho, hay un montón de información involucrada con el modelado de sistemas y el diseño de controladores de realimentación de estado, sólo describe el proceso general ya que creo que esto es el alcance buscaba con su pregunta.