Forma compacta de describir el conjunto de todos los grupos estabilizadores para un número fijo de qubits físicos y qubits lógicos codificados

Arreglo $n$ , el número de qubits $k$ , el número de qubits lógicos codificados. Podemos encontrar un conjunto de $(n-k)$ los operadores que todos mutuamente commuté y por otra parte, forman un grupo $S$ . Supongamos que el grupo $S$ es un subgrupo del grupo Pauli. Podemos usar estos operadores para arreglar un espacio vectorial de $2^{n-k}$ .

Ahora considere todos los grupos estabilizadores $S_i$ formados de esta manera, codificando $k$ qubits en $n$ , y considere el conjunto $\mathcal{S}= \{S_i \, \vert\, i=1 \ldots N\}$ , donde$S_i$ es un grupo estabilizador específico que estabiliza unespacio vectorial dimensional de$2^{n-k}$ . ¿Cómo puedo parametrizar explícitamente este conjunto? Por ejemplo: para$n=3$ y$k=1$ , podríamos tener$S_1 = \langle Z_1Z_2, Z_2 Z_3\rangle$ y$S_2 = \langle X_1X_2, X_2 X_3\rangle$ , y así sucesivamente para otros grupos estabilizantes distintos.

Una posible forma de llegar a una solución es considerar la matriz de verificación de paridad para un específico , y luego preguntar qué acción de grupo podríamos definir en la matriz de verificación de paridad de S i para producir la matriz de verificación de paridad para cualquier otro grupo estabilizador del misma cardinalidad Pero no sé cómo actuaría un grupo así en el grupo estabilizador. En mi ejemplo para ( n , k ) = ( 3 , 1 ) anterior, por ejemplo, puedo cambiar S 1 a S 2 conjugando con un Hadamard, y creo que esto corresponde a una multiplicación correcta de algunos × $S_i$$S_i$$(n,k) = (3,1)$$S_1$$S_2$$2n \times 2n$ matriz en la matriz de verificación de paridad.

Debido a este ejemplo, me siento tentado a pensar que lo que necesito es conjugación por parte de todo el grupo Clifford o un subgrupo para actuar por conjugación de , y eso corresponderá a un simpléctico ( 2 n × 2 n ) matriz que actúa sobre las matrices de verificación de paridad. En ese caso, el conjunto S se parametriza fijando un grupo estabilizador específico S i y actuando sobre él mediante conjugación mediante una representación unitaria del grupo o subgrupo Clifford. ¿Está cerca?$S_i$$(2n \times 2n)$$\mathcal{S}$$S_i$

Hay buenas noticias y malas noticias. La buena noticia es que sus intuiciones son esencialmente correctas, y que existe tal acción grupal a través del grupo Clifford. La mala noticia es que, dependiendo de lo que quiera de esa parametrización, puede no ser tan útil como espera.$\def\ket#1{\lvert #1 \rangle}$

Primero, las buenas noticias: cada grupo estabilizador Pauli en qubits, con generadores independientes r = n - k , se puede asignar a cualquier otro grupo de este tipo mediante la conjugación de los operadores del grupo Clifford. La forma más sencilla de mostrar esto es por inducción en r . Si r = 0 , entonces solo hay un grupo estabilizador: el grupo trivial { 1 } . Para cualquier r > 0 , dado un grupo estabilizador de entrada S , puede reducir al caso de r - 1 con los siguientes pasos:$n$$r = n-k$$r$$r = 0$$\{ \mathbf 1 \}$$r > 0$$S$$r-1$

• Seleccione cualquier generador del grupo estabilizador y algunos qubit x r en los que P r actúe de manera no trivial.$P_r$$x_r$$P_r$

• Encuentre un operador de grupo Clifford tal que C r P r C † r = Z n - r , el operador Pauli Z de un solo qubit que actúa solo en qubit ( n - r ) . El operador C r puede involucrar operadores SWAP para intercambiar los factores tensoriales por qubit x r y ( n - r ) .$C_r$$C_r P_r C_r^\dagger = Z_{n-r}$$Z$$(n-r)$$C_r$$x_r$$(n-r)$

• Determine cómo los otros generadores del grupo estabilizador se transforman bajo . Esto produce una lista de generadores para el grupo S ′ = { C r P C † $C_r$ . Debido a que S ' es abeliano, la imagen de cada generador o bien actúa sobre qubit ( n - r ) con 1 o Z . En el último caso, produzca un nuevo generador multiplicándolo por Z n - r . Como Z n - r es un elemento de S ' , esto produce un conjunto equivalente de generadores para el grupo.$S' = \{ C_r P C_r^\dagger \,\vert\, P \in S\}$$S'$$(n-r)$$\mathbf 1$$Z$$Z_{n-r}$$Z_{n-r}$$S'$

Una vez hecho esto, tiene un grupo estabilizador para un subespacio estabilizado por . Cualquier estado en este grupo se factoriza como un producto tensorial de | 0 ⟩ en qubit ( n - r ) , y un estado en los qubits restantes. Al considerar el código del estabilizador definido en todos los demás qubits, se ha reducido al caso de un grupo estabilizador en n - 1 qubits y con generadores r - 1 .$Z_{n-r}$$\ket{0}$$(n-r)$$n-1$$r-1$

Si desempacamos esta prueba inductiva, obtenemos un procedimiento recursivo para asignar cualquier código de estabilizador con r generadores a un circuito de Clifford C que mapea ese grupo estabilizador en el grupo específico Z n , r : = ⟨ Z n - r , Z n - r + 1 , ... , Z n$S$$r$$\mathcal C$Si tiene dos de estos códigos S 1 y S 2 , solo componga sus circuitos C † 2 C 1 para obtener un circuito que mapee S 1 a S 2 . Existe cierta redundancia, ya que diferentes conjuntos de generadores del grupo estabilizador de S j producirán diferentes circuitos C j : esto corresponde al hecho de que algunos circuitos de Clifford solo evalúan los automorfismos (es decir, unidades unitarias lógicas) del código. Pero no importa: lo que tiene es una forma de generar cualquier código estabilizador en n qubits con

La mala noticia es que, tal como está, todo lo que hemos hecho anteriormente es en efecto parametrizar los códigos estabilizadores por sus circuitos de codificación. Por "circuito de codificación", me refiero solo al circuito que toma un estado qubit | Psi ⟩ , y luego codifica | Psi ⟩ en un n sistema -qubit mediante la preparación de r qubits frescas en el estado | 0 ⟩ y actuar sobre ellos por un unitaria adecuada. Al reducir un código estabilizador arbitrario con generadores r a un código 'canónico' (y extremadamente aburrido) cuyo grupo estabilizador es Z n $k = n-r$$\ket{\psi}$$\ket{\psi}$$n$$r$$\ket{0}$$r$ , hemos demostrado nada más o menos que un código estabilizador es uno con un circuito de codificación Clifford. Describir códigos estabilizadores en términos de la órbita de Z n , r bajo elgrupo Clifford den-bits no es más o menos que describir códigos en términos de sus circuitos de codificación. Es un buen hecho para confiar, pero es más un resultado básico que un resultado profundo.$\mathcal Z_{n,r}$$\mathcal Z_{n,r}$$n$

Si toma algún otro código como código de 'referencia', entonces esencialmente está haciendo lo mismo, excepto anteponer ese circuito de codificación por algún otro circuito de Clifford. Este punto de vista puede o no ser útil para usted; sin duda, es una buena propiedad primaria a tener en cuenta cuando habla de códigos estabilizadores y estados estabilizadores con otras personas que están menos familiarizadas con ellos, pero sin imponer restricciones adicionales sobre qué circuitos de codificación o representaciones de código que le interesan ( por ejemplo,  para limitar los automorfismos de códigos que considera), supongo que esta parametrización puede ser de utilidad limitada. El quid, al final, será qué propiedades de los códigos estabilizadores le interesan.