¿Qué son exactamente los anyons y cómo son relevantes para la computación cuántica topológica?

He estado tratando de tener una idea básica de lo que son los anyons en los últimos días. Sin embargo, los artículos en línea (incluida Wikipedia) parecen inusualmente vagos e impenetrables en lo que respecta a la explicación de la computación cuántica topológica y cualquier cosa.

La página Wiki en computadora cuántica topológica dice:

Una computadora cuántica topológica es una computadora cuántica teórica que emplea cuasipartículas bidimensionales llamadas anyons , cuyas líneas mundiales se cruzan entre sí para formar trenzas en un espacio-tiempo tridimensional (es decir, una dimensión temporal más dos dimensiones espaciales ). Estas trenzas forman las puertas lógicas que componen la computadora. La ventaja de una computadora cuántica basada en trenzas cuánticas sobre el uso de partículas cuánticas atrapadas es que la primera es mucho más estable. Pequeñas perturbaciones acumulativas pueden hacer que los estados cuánticos se descodifiquen e introduzcan errores en el cálculo, pero tales pequeñas perturbaciones no cambian las propiedades topológicas de las trenzas.

Esto sonaba interesante. Entonces, al ver esta definición, traté de buscar qué son los anyons :

En física, un anyon es un tipo de cuasipartícula que ocurre solo en sistemas bidimensionales , con propiedades mucho menos restringidas que los fermiones y los bosones. En general, la operación de intercambiar dos partículas idénticas puede causar un cambio de fase global pero no puede afectar a los observables.

Bien, tengo alguna idea sobre qué son las cuasipartículas . Por ejemplo, cuando un electrón viaja a través de un semiconductor, su movimiento se ve perturbado de manera compleja por sus interacciones con todos los demás electrones y núcleos; sin embargo, se comporta aproximadamente como un electrón con una masa diferente (masa efectiva) que viaja sin perturbaciones a través del espacio libre. Este "electrón" con una masa diferente se llama "cuasipartícula de electrones". Por lo tanto, tiendo a suponer que una cuasipartícula, en general, es una aproximación al complejo fenómeno de partículas u ondas que puede ocurrir en la materia, que de otro modo sería difícil tratar matemáticamente.

Sin embargo, no pude seguir lo que decían después de eso. Sé que los bosones son partículas que siguen las estadísticas de Bose-Einstein y los fermiones siguen las estadísticas de Fermi-Dirac .

Preguntas:

• Sin embargo, ¿qué quieren decir con "mucho menos restringido que los fermiones y los bosones"? ¿Los "anyons" siguen un tipo diferente de distribución estadística de lo que siguen los bosones o fermiones?

• En la siguiente línea, dicen que el intercambio de dos partículas idénticas puede causar un cambio de fase global, pero no puede afectar a los observables. ¿Qué se entiende por cambio de fase global en este contexto? Además, ¿de qué observables están hablando realmente aquí?

• ¿Cómo son estas cuasipartículas, es decir, cualquier persona realmente relevante para la computación cuántica? Sigo escuchando cosas vagas como " Las líneas mundiales de anyons forman trenzas / nudos en 3 dimensiones (2 espaciales y 1 temporal). Estos nudos ayudan a formar formas estables de materia, que no son fácilmente susceptibles a la decoherencia ". Creo que este video de Ted-Ed da alguna idea, pero parece tratar con la restricción de electrones (en lugar de "anyons") para moverse en un cierto camino cerrado dentro de un material.

Me alegraría si alguien pudiera ayudarme a conectar los puntos y comprender el significado y la importancia de "anyons" a un nivel intuitivo. Creo que una explicación a nivel de laico sería más útil para mí, inicialmente, en lugar de una explicación matemática completa. Sin embargo, conozco la mecánica cuántica básica de pregrado, por lo que puede usar eso en su explicación.

Lo primero que debe hacer es pensar topológicamente: asegúrese de comprender por qué una taza de café es lo mismo topológicamente que una dona.

Ahora, imagine que intercambiamos dos partículas idénticas, y lo hacemos de nuevo, de modo que volvamos a donde comenzamos. Aplique este pensamiento topológico a los caminos tomados por las partículas: es lo mismo que no hacer nada.

Aquí muestro una imagen de esto, donde una partícula se arrastra alrededor de otra partícula. Topológicamente, el camino tomado puede deformarse de regreso al camino de "no hacer nada".

La raíz cuadrada de esta operación es un intercambio:

Como la raíz cuadrada de 1 es +1 o -1, un intercambio afecta el estado al multiplicar por +1 (para bosones) o -1 (para fermiones).

Para entender anyons, vamos a hacer el mismo análisis, pero con una dimensión menos. Entonces, una partícula que se enrolla alrededor de otra partícula no es topológicamente igual que la operación "no hacer nada":

Necesitamos la tercera dimensión adicional para desenredar el camino del anyon, y dado que no podemos hacer esto topológicamente, el estado del sistema podría modificarse mediante dicho proceso.

Las cosas se ponen más interesantes a medida que agregamos partículas. Con tres anyons, los caminos tomados pueden enredarse o trenzarse de manera arbitraria. Para ver cómo funciona, es útil usar tres dimensiones: dos dimensiones de espacio y una dimensión de tiempo. Aquí hay un ejemplo de tres anyons deambulando y luego regresando a donde comenzaron:

Mucho antes de que los físicos comenzaran a pensar en los anyons, los matemáticos ya descubrieron cómo estos procesos de trenzado se combinan para formar nuevas trenzas o deshacer trenzas. Estos se conocen como "grupos de trenzas" en un trabajo que se remonta a Emil Artin en 1947.

Al igual que la distinción entre Bosones y Fermiones anterior, los diferentes sistemas anyon se comportarán de manera diferente cuando realice estas operaciones de trenzado. Un ejemplo de anyon, conocido como Fibonacci anyon, puede aproximarse a cualquier operación cuántica simplemente haciendo este tipo de trenzas. Y, en teoría, podríamos usarlos para construir una computadora cuántica.

Escribí un documento introductorio sobre anyons, que es de donde obtuve estas imágenes: https://arxiv.org/abs/1610.05384 . Hay más matemáticas allí, así como una descripción de un primo cercano de cualquier teoría conocida como "functor modular".

Aquí hay otra buena referencia, con más bondad de Fibonacci anyon: Introducción a la computación cuántica topológica con anyons no abelianos

EDITAR : veo que no dije nada sobre los observables. Los observables del sistema miden el contenido total de anyon dentro de una región. En términos de caminos anyon, podemos pensar en esto como unir a todos los anyons en alguna región y "fusionarlos" en un anyon, que puede ser el estado de vacío "no anyon". Para un sistema compatible con Fibonacci anyons, solo habrá dos resultados para dicha medición: Fibonacci anyon o vacío. Otro ejemplo es el código tórico donde hay cuatro resultados anyon.

Tienes razón, parece que la página de Wikipedia necesita trabajo, así que tendré que actualizarla. Pero por ahora responderé las cinco preguntas:

1) ¿Qué quieren decir con "mucho menos restringido que los fermiones y los bosones?

El intercambio de dos fermiones o bosones está restringido.$|\psi_1\psi_2\rangle = \pm|\psi_2\psi_1\rangle$
$+$$-$

$|\psi_1\psi_2\rangle = e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle$
$\theta=0$$\theta=\pi$

2) ¿Los "anyons" siguen un tipo diferente de distribución estadística que los bosones o fermiones?

$\theta$$0$$\pi$

3) El intercambio de dos partículas idénticas puede causar un cambio de fase global pero no puede afectar a los observables. ¿Qué se entiende por cambio de fase global en este contexto?

$e^{i\theta}$$-1$ cuando intercambiamos fermiones también.

Lo que el artículo de Wikipedia debería haber dicho es que cuando intercambias dos partículas idénticas dos veces , aún obtienes un cambio de fase global, lo que no es cierto para los bosones y fermiones. Aquí las flechas primera y segunda indican la primera y segunda vez que intercambiamos partículas 1 y 2:

$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow |\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow |\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow -|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow -(-|\psi_1\psi_2\rangle)=|\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow e^{i\theta}(e^{i\theta})=e^{i2\theta}|\psi_1\psi_2\rangle$$e^{i2\theta}$

4) Además, ¿de qué observables están hablando realmente aquí?

Un observable es cualquier cosa que se pueda observar en un experimento. Por ejemplo, la posición de la partícula,$x$$x$$\langle \psi|\hat{x}|\psi\rangle$

$| \psi\rangle=e^{i\theta}|\phi\rangle$
$\langle \psi|=e^{-i\theta}\langle\phi|$
$\langle\psi|\hat{x}|\psi\rangle = \langle\phi|\hat{x}|\phi\rangle$

Entonces dos estados $|\phi\rangle$$|\psi\rangle$$e^{i\theta}$

5) ¿Cómo son estas cuasipartículas, es decir, cualquier persona realmente relevante para la informática cuántica?

Hay muchas propuestas para construir una computadora cuántica, por ejemplo:

• (i) Las computadoras cuánticas de RMN utilizan fermiones (como el giro de un protón).
  
• (ii) Las computadoras cuánticas fotónicas utilizan bosones (los fotones son bosones)
  
• (iii) Las computadoras cuánticas topológicas son un tipo propuesto de computadora cuántica que utilizaría anyons.

Una ventaja de (iii) sobre (i) es que las fidelidades deberían ser mucho mayores. La ventaja sobre (ii) es que debería ser más fácil hacer que los qubits interactúen. La desventaja sobre ambos (i) y (ii) es que los experimentos que involucran a cualquiera son relativamente nuevos. La RMN ha existido desde 1938 y los láseres (fotónica) han existido desde 1960, pero los experimentos con anyons comenzaron en la década de 1980 y todavía están lejos de alcanzar la madurez de la ciencia del espín o la ciencia del láser, por no decir que nunca sucederá en el futuro.

"Creo que una explicación a nivel de laico sería más útil para mí, inicialmente, en lugar de una explicación matemática completa".

$e^{i\theta}$

$e^{i\theta}$