¿Por qué se usa el grupo Pauli para estabilizadores?

Cuando se trata de corrección de errores, consideramos que nuestros estabilizadores son miembros del grupo Pauli. ¿Por qué se usa el grupo Pauli para esto y no, digamos, el grupo de todas las matrices unitarias?

Hay algunas razones bastante simples, más allá de lo meramente histórico, para usar matrices de Pauli en lugar de matrices unitarias arbitrarias. Estas razones pueden no distinguir de manera única al grupo de operadores Pauli, pero sí limitan significativamente el alcance de lo que es productivo considerar.

1. Un operador estabilizador $S$ , en primer lugar, debe tener un valor propio +1; de lo contrario no hay ningún estado $\lvert \psi \rangle$ la que 'se estabiliza', en el sentido de que $S \lvert \psi \rangle = \lvert \psi \rangle$ . Por lo tanto, debemos limitarnos a conjuntos de operadores que tengan valores propios +1.

2. En segundo lugar, debemos considerar cómo se pueden utilizar operacionalmente los operadores del estabilizador. Si sabemos que hay una simetría del sistema que debería mantenerse, pero no tenemos ninguna forma de determinar si esa simetría se cumple o no en la práctica (es decir, si se ha producido algún error), entonces estamos fuera de suerte. Lo que nos gustaría poder hacer entonces es poder realizar una estimación de fase para probar si el valor propio de un estado determinado con respecto a algún operador presuntamente estabilizador S es en realidad 1, para determinar si | Psi ⟩ se desvía de las propiedades que tienen de ella.$\lvert \psi \rangle$$S$$\lvert \psi \rangle$

   Esto motiva a considerar operadores que, sí, son unitarios, pero también donde los valores propios difieren significativamente entre sí, para que la estimación de fase distinga fácilmente un estado con error significativo de uno con error insignificante. Esto motiva considerar un conjunto de operadores de n- bits que tienen como máximo 1 / p o l y ( n ) valores propios.$S$$n$$1/\mathrm{poly}(n)$

3. Parte del problema es que nos gustaría detectar y corregir las operaciones que pueden estar involucradas en complicadas transformaciones cuánticas. Si la estimación de fase involucrada en la estimación del valor propio de un operador estabilizador es complicada, no estamos ayudando a la situación.$S$

   Lo que sería bueno para cada uno de los operadores de estabilización consideramos que tiene una estructura muy simple: por ejemplo, podemos estar especialmente interesados ​​en el caso de que sean productos tensoriales de operaciones de 1 o 2 qubits. Parece sensato abordar el tema considerando que cada operador S es un producto tensorial de operaciones de un solo qubit.$S$$S$

4. 1 / p o l y ( k ) E ⊆ C k $k \leqslant n$$1/\mathrm{poly}(k)$$E \subseteq \mathbb C$$k$$n$

   Podemos reducir esto al caso observando que al estimar los valores propios de un operador de producto tensorial , donde cada tiene uno +1 eigenvalue y un eigenvalue que no es +1, es lo mismo que hacer una versión acortada artificialmente de la estimación de eigenvalue para un operador que tiene valores propios . Además, para considerar varios operadores que logran tener un espacio propio común +1 útil, ayuda a cada operador S tener un espacio propio +1 lo más grande posible; entonces ayuda a que sea lo más fácil posible para los valores propios de cadaS = S 1 ⊗ S 2 ⊗ ⋯ ⊗ S k S j P j ± 1 S S j S j ± $E = \{+1,-1\}$$S = S_1 \otimes S_2 \otimes \cdots \otimes S_k$$S_j$$P_j$$\pm 1$$S$$S_j$multiplicar a +1. Esto nuevamente motiva el caso para que los valores propios de sean .$S_j$$\pm 1$

5. Nada nos obliga a considerar el grupo de operadores generados por un conjunto de este tipo, pero los productos de nuestros operadores de estabilizadores también serán operadores de estabilizadores, y tenemos suficientes restricciones sobre nuestros operadores que al menos podemos contemplar razonablemente el grupo generado por nuestros operadores de estabilizadores. .

   Tenemos operadores y cuyos factores tensoriales son o reflexiones no triviales en estados de un solo qubit; sus productos serán rotaciones por un ángulo determinado por los ángulos entre las bases propias de y . Si queremos obtener una buena teoría limpia, podríamos querer que estos productos de los operadores de estabilizadores sean fáciles de medir: esto motiva que sea ​​proporcional a un operador con valores propios (en realidad será tener valores propiosS ′ = S ′ 1 ⊗ ⋯ ⊗ S ′ n 1 S j S ′ j θ S j S ′ j S j S ′ j ± 1 S j S ′ j ± i S j S ′ $S = S_1 \otimes \cdots \otimes S_n$$S' = S'_1 \otimes \cdots \otimes S'_n$$\mathbb 1$$S_j S'_j$$\theta$$S_j$$S'_j$$S_j S'_j$$\pm 1$$S_j S'_j$$\pm i$ ), en cuyo caso y anticommutan.$S_j$$S'_j$

Por lo tanto, la combinación anterior de restricciones teóricas y prácticas es suficiente para producir algo que es isomorfo para el grupo Pauli. Además, como los operadores de Pauli tienen una teoría que es bastante fácil de entender, ha llevado a una teoría fructífera de la corrección de errores cuánticos.

Una pregunta justa sería cuál de los movimientos anteriores fue más arbitrario que los otros.

• No me sorprendería si hubiera una teoría productiva de corrección de errores en la que las restricciones fueran operadores de productos tensoriales, cuyos factores tensoriales tenían valores propios , pero donde los posibles operadores no necesariamente anticomuten (paso 5 anterior).$\pm 1$

• Más sofisticada (y más difícil) sería una teoría poderosa y útil de corrección de errores en la que los operadores estabilizadores que se miden incluyen operadores que no son operadores de productos tensoriales (paso 3, lo que motivaría no preocuparse demasiado por tener una estructura de grupo en el grupo de estabilizadores que pretende medir).

Desde una perspectiva puramente matemática, no hay nada obvio para evitar o desalentar una línea de investigación de este tipo, aparte del hecho de que es probable que sea difícil y también innecesario, y en este sentido, sería perfectamente Está bien considerar las teorías de la corrección de errores cuánticos que se extienden más allá del grupo de Pauli.

Cualquier operador del grupo Pauli tiene dos espacios propios del mismo tamaño. Entonces, sabemos que al agregar un generador estabilizador de este grupo, reducimos el tamaño del espacio estabilizador a la mitad. Esto significa que el espacio del estabilizador encajaría en un qubit lógico menos. Esto facilita saber cuándo tenemos suficientes estabilizadores: para almacenar qubits lógicos en qubits físicos, solo necesitamos generadores de estabilizadores independientes.n n - $k$$n$$n-k$

Además, el grupo Pauli está compuesto por operadores hermitianos. Dado que se debe medir el punto de un estabilizador, es útil que sean hermitianos, ya que pueden interpretarse directamente como observables.

Además, los operadores que mapean entre estados estabilizadores (estados propios mutuos de operadores estabilizadores) serán ellos mismos elementos del grupo Pauli. Esto está relacionado con el punto planteado en su comentario: los elementos del grupo Pauli forman una base completa para describir la operación de múltiples qubits. Entonces, una vez que medimos los estabilizadores, y el ruido se reduce efectivamente a un mapeo entre los estados del estabilizador, es casi como si el ruido solo aplicara un montón de Paulis simple. La corrección se puede hacer mediante una simple rotación de cuadros de Pauli. Esto ni siquiera requiere que apliquemos directamente ninguna puerta al código. Podemos simplemente decir "Parece que un golpeó este qubit, así que de ahora en adelante interpretaré su como , y viceversa".| 0 ⟩ | 1 $\sigma_x$$|0\rangle$$|1\rangle$

No se requieren Paulis, pero tienen buenas propiedades. Por eso son el foco