Límites explícitos de velocidad de Lieb-Robinson

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Los límites de Lieb-Robinson describen cómo se propagan los efectos a través de un sistema debido a un hamiltoniano local. A menudo se describen en la forma

El |[UNA,si(t)]El |domivt-l,
donde UNA y si son los operadores de que están separadas por una distancia l en un enrejado donde el hamiltoniano tiene (por ejemplo, de vecinos más cercanos) interacciones locales en que enrejado, delimitadas por un poco de fuerza J . Las pruebas del límite de Lieb Robinson suelen mostrar la existencia de una velocidad v(Eso depende de J ). Esto a menudo es realmente útil para las propiedades limitantes en estos sistemas. Por ejemplo, hubo algunos resultados realmente buenos aquí con respecto a cuánto tiempo se tarda en generar un estado GHZ utilizando un Hamiltoniano vecino más cercano.

El problema que he tenido es que las pruebas son lo suficientemente genéricas como para que sea difícil obtener un valor ajustado de cuál es realmente la velocidad de un sistema determinado.

Para ser específicos, imagine una cadena unidimensional de qubits acoplada por un Hamiltoniano

(1)H=n=1NBn2Zn+n=1N1Jn2(XnXn+1+YnYn+1),
dondeJnJpara todon. AquíXn,YnyZnrepresentan un operador Pauli que se aplica a un determinado qubitn, yIcualquier otro lugar. ¿Puede dar un límite superior bueno (es decir, lo más ajustado posible) para la velocidadvLieb-Robinsonpara el sistema en la ecuación? (1)?

Esta pregunta puede formularse bajo dos supuestos diferentes:

  • El Jn y Bn están todos fijados en el tiempo
  • El Jn y Bn se les permite variar en el tiempo.

La primera es una suposición más fuerte que puede facilitar las pruebas, mientras que la segunda generalmente se incluye en la declaración de límites de Lieb-Robinson.


Motivación

El cálculo cuántico, y más en general la información cuántica, se reduce a hacer estados cuánticos interesantes. A través de trabajos como este , vemos que la información tarda una cierta cantidad de tiempo en propagarse de un lugar a otro en un sistema cuántico en evolución debido a un hamiltoniano como en la ecuación. (1), y que los estados cuánticos, como los estados GHZ o los estados con un orden topológico, tardan cierto tiempo en producirse. Lo que el resultado muestra actualmente es una relación de escala, por ejemplo, el tiempo requerido es Ω(N) .

Por lo tanto, digamos que llegar a un esquema que hace la transferencia de información, o produce un estado etc. GHZ de manera que las escalas de forma lineal en N . ¿Qué tan bueno es ese esquema en realidad? Si tengo una velocidad explícita, puedo ver cuán estrechamente coincide el coeficiente de escala en mi esquema en comparación con el límite inferior.

Si creo que algún día lo que quiero ver es un protocolo implementado en el laboratorio, entonces me importa mucho optimizar estos coeficientes de escala, no solo la amplia funcionalidad de escala, porque cuanto más rápido pueda implementar un protocolo, menos posibilidades habrá. es para que venga el ruido y arruine todo.


Más información

Hay algunas características agradables de este hamiltoniano que supongo que hacen que el cálculo sea más fácil. En particular, el Hamiltoniano tiene una estructura de subespacio basada en el número de 1s en la base estándar (se dice que preserva la excitación) y, aún mejor, la transformación de Jordan-Wigner muestra que todas las propiedades de los subespacios de excitación superiores pueden derivarse del subespacio de 1 excitación. Esto significa esencialmente sólo tenemos que hacer las cuentas en un N×N matriz h en lugar de la totalidad de 2N×2N matriz n | + N - 1 n = 1 JH , donde

h=n=1NBn|nn|+n=1N1Jn(|nn+1|+|n+1n|).
Existe alguna evidencia de que la velocidad de Lieb-Robinson esv=2J , comoaquíyaquí, pero todos usan una cadena acoplada de manera uniforme, que tiene una velocidad de grupo2J(y supongo que la velocidad del grupo está estrechamente relacionada con la velocidad de Lieb-Robinson). No prueba que todas las opciones posibles de fuerza de acoplamiento tengan una velocidad tan limitada.

Puedo agregar un poco más a la motivación. Considere la evolución temporal de una excitación única que comienza en un extremo de la cadena, |1 , y lo que su amplitud es para llegar al otro extremo de la cadena |N , un corto tiempo δt más tarde. Para primer orden en δt , esto es

N|eihδt|1=δtN1(N1)!n=1N1Jn+O(δtN).
Se puede ver la funcionalidad exponencial que se puede esperar estar fuera del 'cono de luz' definida por un sistema Lieb-Robinson, pero lo más importante, si usted quiere maximizar esa amplitud, lo haces con todo elJn=J . Entonces, en tiempos cortos, el sistema de acoplamiento uniforme conduce a la transferencia más rápida. Tratando de empujar más a fondo, puede pedir, como un poco de dulce de azúcar, cuando pueden
tN1(N1)!n=1N1Jn1
Tomar ellímiteNgrandey usar la fórmula de Stirling en el factorial conduce a
mitJnorte-11,
lo que sugiere una velocidad máxima de aproximadamentemiJ. ¡Cercano, pero apenas riguroso (ya que los términos de orden superior no son despreciables)!

DaftWullie
fuente
¿Ha calculado el mejor límite LR de las pruebas para ese modelo? ¿Cómo se compara con la velocidad que cita?
Norbert Schuch
1
Ok, admito que es una pregunta computación cuántica, al menos como yo lo interpreto ahora: "¿Cuál es la elección de y B n (sujeto a algunas restricciones) que produce la velocidad máxima para la información / estado / ... transferir." --- ¿Es esta la interpretación correcta? JnBnorte
Norbert Schuch
@NorbertSchuch No del todo. Quiero poder decir: "Se me ocurrió un conjunto de acoplamientos que logran un protocolo con cierta escala. Se sabe que ese protocolo está limitado por los límites de Lieb-Robinson. ¿Qué tan cerca estoy de saturar esa restricción?" como una medida de lo rápido que es mi protocolo.
DaftWullie
@DaftWullie Entonces, ¿se pregunta: "¿Qué tan cerca estoy de ser óptimo" o "¿Qué tan cerca estoy de algún tipo de atadura (tomando la más ajustada posible)"?
Norbert Schuch
1
@ user1271772 Eso es correcto. B(t)=eiHtB(0)eiHt
DaftWullie

Respuestas:

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Permítanme responder primero a la pregunta general sobre cómo obtener una velocidad de Lieb-Robinson (LR) razonablemente ajustada cuando se enfrentan a un modelo de red genérico de interacción local, y luego volveré al modelo 1D XY en su pregunta, que es muy especial para ser exactamente solucionable.


Método general

El método para obtener el límite más ajustado hasta la fecha (para un modelo de interacción genérico de corto alcance) se introduce en Ref1 = arXiv: 1908.03997 . La idea básica es que la norma del conmutador de tiempo desigual [AX(t),BY(0)] entre operadores locales arbitrarios puede estar limitada por la solución a un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que viven en el Gráfico de conmutatividad del modelo. El gráfico de conmutatividad, como se introdujo en la Sección II A de Ref1, puede extraerse fácilmente del modelo hamiltonianoH^, Y está diseñado para reflejar las relaciones de conmutación entre los diferentes operadores locales que se presentan en H . En sistemas invariantes de traducción, este conjunto de ecuaciones diferenciales se puede resolver fácilmente mediante una transformada de Fourier, y se puede calcular un límite superior de la velocidad LR a partir de la frecuencia propia más grande ω max ( i κ ) utilizando la ecuación (31) de Ref1 . A continuación, aplicaré este método al modelo 1D XY como ejemplo pedagógico. Para simplificar, me centraré en el caso independiente del tiempo y la traducción invariable | B n | = B > 0 , | J nH^ωmax(iκ)|Bn|=B>0|Jn|=J>0 (el límite resultante no depende de signos deBn,Jn ). Para el caso de traducción no invariable y dependiente del tiempo, puede resolver la ecuación diferencial numéricamente (que es una tarea computacional fácil para sistemas de miles de sitios), o puede usar un límite superior general|Jn(t)|J, |Bn(t)|B y proceda a utilizar el siguiente método (pero esto compromete ligeramente la estanqueidad en comparación con el método numérico).

  1. Primero dibujamos el gráfico de conmutatividad, como se muestra a continuación. Cada operador en el Hamiltoniano ~ ( XnXn+1 , YnYn+1 ,Zn ) está representado por un vértice, y vinculamos dos vértices si y solo si los operadores correspondientes no conmutan (o, en el caso actual, anti-viaje). ingrese la descripción de la imagen aquí

  2. Luego escriba las ecuaciones diferenciales Eq. (10) de Ref1 :

    γ¯˙α,n=J[γ¯α,n1(t)+γ¯α,n+1(t)]+B[γ¯3,n(t)+γ¯3,n+1(t)],  α=1,2,γ¯˙3,n=Jα=1,2[γ¯α,n1(t)+γ¯α,n(t)].

  3. Fourier transformando la ecuación anterior, tenemos

    ddt(γ¯1,kγ¯2,kγ¯3,k)=(2Jcosk0B(1+eik)02JcoskB(1+eik)J(1+eik)J(1+eik)0)(γ¯1,kγ¯2,kγ¯3,k).
    Las frecuencias propias son2Jcosk,Jcosk±(Jcosk)2+2BJ(1+cosk) . La velocidad LR viene dada por la ecuación (31) deRef1:
    vLRminκ>0ωmax(iκ)κ=ZB2JJ,
    donde
    Zyminκ>0coshκ+cosh2κ+4y(1+coshκ)κ.

B/JvLR4X0JXyxarcsinh(x)=x2+1+y.


Límites de velocidad para algunos modelos clásicos.

vLRF(Jx,Jy,Jz)x3(JxJy+JxJz+JyJz)x2JxJyJz=0.

ModelvLRd-dimensional TFIM2X0 0reJh=3,02reJhH^=JmetronorteXmetroXnorte+hnorteZnorte4 4Xre-1rereJ8,93reJ4 4X0 0reh=6.04rehretridimensional de Fermi-Hubbard2X3U4 4reJreJH^=Jmetronorte,s= ↑,(unametro,sunanorte,s+H.do.)8Xre-1rereJ17,9reJ  +UnorteunanorteunanorteunanorteunanorteZU/ /JJ (re=1)1D Heisenberg XYZ4 4X0 0F(JX,Jy,Jz)H^=norte(JXXnorteXnorte+1+JyYnorteYnorte+1+JzZnorteZnorte+1)34,6max{JX,Jy}

J=hvLR=2J2X0 0J3,02JU=0 0Jx=Jy,Jz=0X01.50888. [En realidad, en estos puntos especiales, los dos últimos son equivalentes a cadenas desacopladas de TFIM, como se puede juzgar directamente a partir de su gráfico de conmutatividad.]


Más estricto para 1D XY mediante mapeo para fermiones libres

H^=nBn(anan1/2)+nJn(anan+1+H.c.).
Bn(t),Jn(t) necesita resolver el problema del fermión libre numéricamente, pero permítame mencionar dos casos especiales que son analíticamente manejables.

  1. Bn(t)=B,Jn(t)=J

    an(t)=12πππa~kei2Jtcoskeikxdk=mJ|nm|(2Jt)am(0),
    J|nm|(2Jt)|nm|vLRXY=2J

  2. Bn,JnvLR=0

    [AX(t),BY(0)]const. t edXY/ξ,
    dXY=ξlnt

Lagrenge
fuente
XYEl |JnorteEl |JvLRXY2J
2Jsinorte(t)si=0 0siH^vLR2X0 0J=3,02J
@DaftWullie Estimado DaftWullie, si crees que todavía falta algo en mi respuesta, o algún punto aún no está claro, házmelo saber.
Lagrenge
La respuesta parece potencialmente útil. Todavía no he tenido tiempo de mirar tu artículo (pueden ser un par de semanas). Asumiendo que entiendo todo bien, ese es el punto en el que aceptaré tu respuesta.
DaftWullie