[Nota: editado para modernizar la sintaxis de ggplot]
Tu ejemplo no es reproducible ya que no hay ex1221new(hay un ex1221in Sleuth2, así que supongo que eso es lo que querías decir). Además, no necesita (y no debería) extraer columnas para enviar ggplot. Una ventaja es que ggplottrabaja data.framedirectamente con s.
Puede configurar las etiquetas con xlab()y ylab(), o convertirlo en parte de la scale_*.*llamada.
library("Sleuth2")
library("ggplot2")
ggplot(ex1221, aes(Discharge, Area)) +
  geom_point(aes(size=NO3)) + 
  scale_size_area() + 
  xlab("My x label") +
  ylab("My y label") +
  ggtitle("Weighted Scatterplot of Watershed Area vs. Discharge and Nitrogen Levels (PPM)")

ggplot(ex1221, aes(Discharge, Area)) +
  geom_point(aes(size=NO3)) + 
  scale_size_area("Nitrogen") + 
  scale_x_continuous("My x label") +
  scale_y_continuous("My y label") +
  ggtitle("Weighted Scatterplot of Watershed Area vs. Discharge and Nitrogen Levels (PPM)")

Una forma alternativa de especificar solo etiquetas (útil si no está cambiando ningún otro aspecto de las escalas) es usar la labsfunción
ggplot(ex1221, aes(Discharge, Area)) +
  geom_point(aes(size=NO3)) + 
  scale_size_area() + 
  labs(size= "Nitrogen",
       x = "My x label",
       y = "My y label",
       title = "Weighted Scatterplot of Watershed Area vs. Discharge and Nitrogen Levels (PPM)")
lo que da una cifra idéntica a la anterior.