¿Cuantificar la desigualdad de los límites de polígonos?

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Tengo dos polígonos: Polígono 1 y Polígono 2.

Usando dos métricas, área y longitud del perímetro, quiero expresar cuantitativamente que el Polígono 1 tiene un perímetro más desigual / irregular / irregular que el Polígono 2.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Cada polígono tiene la misma longitud de perímetro pero cada uno cubre áreas bastante diferentes. Para cuantificar las irregularidades / irregularidades / irregularidades de cada polígono, el cálculo debe ser:

area/perimeter

o 

perimeter/area

Pensé perimeter/area, pero luego encontré esta publicación de blog que usa area/perimeter: http://www.r-bloggers.com/measuring-the-gerrymander-with-spatstat/

spatial-statistics luciano
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Ninguna de esas proporciones tiene sentido, porque ambas dependen de las unidades de medida. Puede hacerlos independientes de las unidades formando una función homogénea de cero grados de ellas, como el perímetro / sqrt (área). Tales medidas a menudo se denominan "tortuosidad". Se pueden encontrar otros enfoques buscando en nuestro sitio sobre tortuosidad .
whuber
¿Cuál es la pregunta? F1 (X) / F2 (Y) o F2 (Y) / F1 (X) no son medidas diferentes, de la misma manera que a no es una medida diferente a 1 / a.
BradHards
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@Bradhards A muchas personas les sostienen una y 1 / a son diferentes maneras de expresar la misma cantidad subyacente, a pesar de que existe una relación matemática entre ellos. La no linealidad de esta relación implica que esto no es un mero cambio de unidades. Las dos expresiones deben considerarse genuinamente diferentes, así como (por ejemplo) la concentración logarítmica y la concentración son formas diferentes de expresar la concentración, o millas por galón y galones por milla son formas esencialmente diferentes de expresar el ahorro de combustible. (Y tenga en cuenta que los galones por milla se interpretarían como despilfarro , no como "economía")
Whuber

Respuestas:

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Eche un vistazo a un programa llamado FRAGSTATS ( http://www.umass.edu/landeco/research/fragstats/downloads/fragstats_downloads.html ). En la sección de métricas del parche se menciona el "Índice de dimensión fractal", que según las notas "El índice de dimensión fractal es atractivo porque refleja la complejidad de la forma en un rango de escalas espaciales (tamaños de parche)". Por lo tanto, al igual que el índice de forma (SHAPE), supera una de las principales limitaciones de la relación de área perimetral recta como medida de la complejidad de la forma ". ( http://www.umass.edu/landeco/research/fragstats/documents/Metrics/Shape%20Metrics/Metrics/P9%20-%20FRAC.htm ).

usuario14134
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Agregaría que la fórmula para calcular el Índice de Dimensión Fractal parece simple de calcular sin necesidad del software FRAGSTATS. La fórmula se muestra en el enlace de arriba. El índice de dimensión fractal se aproxima a 1 para formas con perímetros muy simples, como cuadrados, y se aproxima a 2 para formas muy complejas.
user14134
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La relación del área con el perímetro no significa mucho, probablemente se consideraría que un cuadrado y un rectángulo tienen la misma irregularidad, pero podrían tener el mismo perímetro y cuanto más lejos del cuadrado esté el rectángulo, menor será el área.

Para calcular la "irregularidad", creo que necesita saber cuántos vértices tienen ángulos mayores de 180 grados. Esto no debería ser demasiado difícil de calcular si está utilizando una tienda de geometría donde se conoce la dirección de rotación del polígono (generalmente en sentido antihorario, en cuyo caso si va del punto 1 al punto 2, el ángulo excede 180 grados si el punto 3 está a la derecha de la línea definida por los puntos 1 y 2). De lo contrario, primero debe determinar la rotación.

Russell en ISC
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Esto es básicamente lo que estaba pensando. Algún tipo de "conteo" de ángulos agudos en el perímetro.
Baltok
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El problema con esta propuesta es que depende de cómo se representa la forma más que de la forma misma, lo que la hace arbitraria y poco confiable. Por ejemplo, uno podría reemplazar cada punto afilado en una forma por una secuencia de dos vértices muy cercanos que tengan ángulos menores de 180 grados sin modificar visiblemente la forma. La importancia de esta respuesta radica en señalar que la pregunta no puede responderse sin tener una descripción operativa de lo que se supone que significa "irregularidad".
whuber
Supongo que "irregular" significa "con concavidad". El ejemplo irregular anterior tiene varias concavidades. Tomando eso como la descripción operativa, no hay forma de crear una concavidad en un polígono sin crear un ángulo que sea mayor de 180 grados con respecto a la dirección de rotación de los vértices del polígono
Russell en ISC
También estoy asumiendo que el polígono no se auto intersecta.
Russell en ISC
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@Russell Eso está bien pero todavía no funciona. Una "concavidad" podría estar representada por un solo vértice o por una secuencia de miles de vértices cóncavos estrechamente espaciados (que ocurre, por ejemplo, cuando la entidad se crea restando buffers de otras entidades). Una vez más, el problema es que su propuesta depende de detalles irrelevantes de representación de la forma más que de las propiedades inherentes de la forma misma. Esto se puede superar de muchas maneras estimando la dimensión fractal o la curvatura absoluta total, etc. , pero su respuesta no parece ir en esa dirección.
whuber
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Pruebe el Índice de perímetro normalizado ( http://clear.uconn.edu/tools/Shape_Metrics/ ). El índice de perímetro normalizado usa el círculo de área igual para normalizar la métrica. Por lo tanto, la fórmula es efectiva (en Python, importar matemáticas)normPeriIndex = (2*math.sqrt(math.pi*Area))/perimeter

Por su ejemplo:

Polígono 1: Índice de perímetro normalizado = 0.358

Polígono 2: Índice de perímetro normalizado = 0.947

El índice de perímetro normalizado compara el perímetro de entrada con el polígono más compacto con la misma área (círculo de área igual), lo que significa que puede usarlo para identificar entidades con límites irregulares. La otra gran cosa es que es fácil y rápido de calcular.

También puede observar la dispersión normalizada, que calcula la distancia promedio desde puntos a lo largo del perímetro desde el centroide (dispersión). Para esto también calcularía la desviación, que es la diferencia promedio entre cada distancia y el radio del círculo de área igual, luego la fórmula final sería (dispersión - desviación) / dispersión.

crld
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