¿Por qué usar diferentes capacidades de calor específicas en las ecuaciones de energía para el flujo de fluido incompresible y compresible?

Fondo:

Noté que hay bastante similitud entre la ecuación de calor estándar y la ecuación de energía (de las ecuaciones de navier stokes). La ecuación de calor se da como

$$ \ frac {\ partial \ left (\ rho h \ right)} {\ partial t} + \ nabla \ cdot \ left (u \ rho h \ right) - \ nabla \ cdot \ left (k \ nabla T \ derecha) = 0 $$

con $ \ rho, h, u, k, T, $ son la densidad, la entalpía específica total, la velocidad del fluido, la conductividad térmica y la temperatura, respectivamente. Tenga en cuenta que para muchas aplicaciones, basta con escribir la entalpía específica total como $ h = c_pT $, donde $ c_p $ es la capacidad de calor específica de presión constante.

Por otro lado, la ecuación de energía (del sistema de naves stokes) se da como

$$ \ frac {\ partial \ left (\ rho E \ right)} {\ partial t} + \ nabla \ cdot \ left (u \ rho E \ right) - \ nabla \ cdot (k \ nabla T) + \ nabla \ cdot (\ sigma u) = 0 $$

donde $ E, \ sigma $ son la energía total y el tensor de tensión, respectivamente. Aquí, la energía total E es la suma de energía interna y cinética $ E = e + K $, con $ = e = c_vT $ y $ K \ frac {1} {2} | u | ^ 2 $.

Dado que ambas ecuaciones se derivan de la conservación de la energía, no es sorprendente que ambas ecuaciones compartan los siguientes términos:

1. Tasa de cambio en la entalpía (término derivado del tiempo)
2. Advección del calor interno (término divergencia)
3. Difusión del calor (término laplaciano)

La ecuación de energía tiene términos adicionales que no se encuentran en la ecuación de calor. Estos términos adicionales son específicos para el flujo de fluido compresible y tienen en cuenta

1. Tasa de cambio en & amp; advección de energía cinética (K)
2. Hacer hincapié en las contribuciones a la energía ($ \ sigma $)

En muchas situaciones, las contribuciones de energía cinética y estrés son muy pequeñas cuando el flujo de fluido es incompresible y, por lo tanto, pueden descuidarse. Esto hace que la ecuación de energía y la ecuación de calor sean casi idénticas, excepto por una diferencia sutil:

Una sutil diferencia
La ecuación de calor está formulada con la capacidad de calor específica de presión constante $ c_p $, mientras que la ecuación de energía utiliza la capacidad de calor de volumen constante $ c_v $. Sin embargo, asumo que se derivan del mismo principio de conservación de la energía. Si es así, esperaría que las dos expresiones usen la misma capacidad de calor específica.

Esto se vuelve más importante cuando se trata de diferentes tipos de flujos de fluidos. He visto modelos de flujo incompresible en los que la ecuación de energía está simplemente formulada en términos de la ecuación de calor estándar (como la anterior) con la capacidad de calor de presión constante $ c_p $. Como la temperatura no afecta el flujo de fluido incompresible, se puede pensar en esto como un "transporte escalar" que depende de la velocidad del fluido resuelta $ u $.

Aplicación: Solidificación & amp; Derritiendo
En mi caso particular, quiero modelar el cambio de fase (solidificación y fusión). Para el flujo incompresible, basta con reescribir la entalpía específica total como la suma del calor interno y latente ($ h = c_pT + h_L $) y sustituir h en la ecuación. Para flujos compresibles, la ecuación se escribe en términos de energía interna $ c_vT $, no entalpía. Entonces, no estoy 100% seguro de que sería suficiente simplemente agregar el término de calor latente como si fuera parte de la energía interna total.

La única manera de estar seguro es si entiendo por qué la ecuación de energía incompresible se escribe en términos de $ c_p $, mientras que la ecuación de energía compresible se escribe en términos de $ c_v $.

Mi pregunta

Si la ecuación de energía para flujo incompresible se formula en términos de capacidad de calor de presión constante $ c_p $, ¿por qué no se formula la ecuación de energía de flujo compresible en términos de capacidad de calor de presión constante $ c_p $ ¿Por qué la capacidad de calor es diferente para el flujo incompresible y compresible? ¿Cómo se explica la diferencia?

Además, para mi aplicación específica, ¿cómo afectan estas diferencias a cómo agregar efectos de calor latente para la solidificación y fusión de un fluido compresible? ¿Puedo simplemente agregar el calor latente al término de energía interna $ e $? ¿O necesito reformular completamente la ecuación de energía compresible en términos de entalpía para agregar efectos de calor latente?

Independientemente del contexto, cuando realiza un balance de energía en un sistema termodinámico, por lo general le interesa (entre otras cosas) el cambio en la energía interna del sistema y el trabajo realizado en o por el sistema mediante la compresión o expansión. La entalpía $ (dh = c_p dT) $ es más o menos una función de conveniencia para la combinación de energía interna y trabajo: $ dh = du + p \ cdot dV $. Cualquier derivación que use entalpía (o capacidad de calor a presión constante), también puede realizarse usando capacidad de calor a volumen constante. La única diferencia debe ser si el trabajo de expansión / compresión aparece explícitamente en la solución o no.

Cuando dice que su sistema es incompresible, básicamente está diciendo que cualquier cambio en el volumen es insignificante, es decir, $ dV \ approx 0 $. El término $ p \ cdot dV $ desaparece de la definición de entalpía, por lo que $ dh \ approx du $. Es decir, para materiales incompresibles, no hay mucha diferencia entre la capacidad de calor a presión constante y volumen constante.

En cuanto a su pregunta sobre dónde agregar el calor latente, no tengo mucha experiencia con la solidificación y la fusión, pero parece una buena idea agruparlos en el término de energía total. Tendrá otro grado de libertad del que necesita realizar un seguimiento: la fracción de material que es líquido en comparación con la que es sólida. Podrías hacer algo como

$$ E_ {tot} = \ alpha \ cdot u_l + (\ alpha -1) u_s + KE + PE + ... $$

donde $ E_ {tot} $ es la energía total, $ KE $ y $ PE $ son energía cinética y potencial, $ \ alpha $ es la fracción de material en la fase líquida, y $ u_l $ y $ u_s $ son los internos Energía de las fases líquidas y sólidas. A medida que el material se derrite, $ \ alpha $ aumenta hacia 1.0, y el cambio en la energía se captura en los dos primeros términos.