¿Por qué Mach 0.3 es el umbral que separa el flujo compresible y el incompresible?

Wikipedia da la razón de Mach 0.3 debido al hecho de que esto logra ~ 5% de cambio en la densidad.

Encontré una página de la NASA que describe (¡analíticamente!) La relación. Cité la fuente, pero reproduciré el trabajo aquí para la posteridad, en caso de que cambien sus enlaces.

Comience con la conservación del impulso:

(ρ V) re V = - re pag

$(\rho V) dV = -dp \\$

donde es la densidad del fluido, es la velocidad y es la presión. para flujo isentrópico: $\rho$ $V$ $p$

\frac{re pag}{pag} = γ \frac{re ρ}{ρ} re pag = (\frac{γ pag}{ρ}) re ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

donde es la relación de calor específica. La ley del gas ideal da: $\gamma$

pag = ρ R T

$p = \rho R T \\$

donde es la constante de gas específica y es la temperatura absoluta. Entonces, sustituyendo: $R$ $T$

re pag = γ R T re ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

La velocidad del sonido se puede calcular mediante:

γ R T = {un}^{2}

$\gamma R T = a^2 \\$

donde es la velocidad del sonido, entonces: $a$

re pag = {un}^{2} re ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

Sustituyendo la expresión anterior en la conservación de la ecuación de momento da:

(ρ V) re V = - {un}^{2} re ρ - (\frac{V^{2}}{{un}^{2}}) re V / / V = re ρ / / ρ - {METRO}^{2} re V / / V = re ρ / / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

donde es el número de Mach. Esto da un número de Mach de 0.3 para ser aproximadamente un cambio de densidad del 5%. $M$

Como nota, esto se basa en el número de Mach, que a su vez depende de la velocidad del sonido en el gas, por lo que se ajusta automáticamente por gas.

Arrojar
fuente

@Paul esto se deriva de la conservación del impulso. no es tanto una "regla" como una sugerencia. Si no le importan los cambios del 10% (o más) en la densidad (u otras cantidades), continúe y use las relaciones incompresibles para números Mach altos. si haces preocupan por pequeños cambios en la densidad, a continuación, utilizar las relaciones compresibles, incluso para un bajo número de Mach

costrom

No es solo densidad. Cuando no dimensionamos ecuaciones, obtenemos grupos adimensionales. La regla general es que si un grupo adimensional es menor que 0.1 podemos ignorar los términos relevantes. En el caso del número de Mach, aparece al cuadrado. Entonces queremos el (número de Mach) ^ 2 <0.1. Esto da aproximadamente 0.3. No es solo la densidad, básicamente todas las cosas que cambian a mayor velocidad se verán afectadas en aproximadamente un 10% una vez que el número de Mach llegue a 0.3.

Joel

@Joel: para el contexto, OP preguntaba específicamente sobre la compresibilidad, por lo que esta respuesta solo cubre la densidad.

Chuck

Dejaría más claro que no es una línea divisoria aguda. Si tiene una menor tolerancia a los errores, comience a usar la solución compresible con números de máquina más bajos. Si no te importa tanto, sigue asumiendo la incompresibilidad con números de máquina más altos. 10% es solo una elección arbitraria de cuánto error "realmente importa", y 0.3 cae matemáticamente, pero no menos arbitrariamente.

hobbs

@chuck: quisquilloso aquí, pero tratar algo como un fluido incompresible significa que puedo decir que la divergencia del campo de velocidad es 0. Eso afecta mucho más que la densidad, hasta el punto de que cuando voy a una charla y alguien dice está asumiendo que es un fluido incompresible, generalmente no es una declaración sobre la densidad.

Joel

¿Por qué Mach 0.3 es el umbral que separa el flujo compresible y el incompresible?

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