¿Por qué podemos descuidar el término inercial (pero no viscoso) en Navier-Stokes a bajo flujo y alta viscosidad?

¿Por qué podemos descuidar el término inercial (pero no viscoso) en Navier-Stokes a bajo flujo y alta viscosidad?

Navier-Stokes completo: $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

Término inercial: .$\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

Y como suponemos un flujo estacionario y una tasa baja: . Y así se deduce que el término de inercia puede ser ignorado.$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

Sin embargo, en mi material también se afirma que $\mu \nabla ^2 \vec{v}$ será el término dominante durante estas circunstancias. ¿Por qué no será así que también?$\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

Por lo general, lo que implica un caudal bajo y una viscosidad alta es que estamos tratando con el llamado flujo de bajo número de Reynolds. El número de Reynolds es un número adimensional que es la relación de las fuerzas de inercia ( ) y la fuerza viscosa ( μ U / L ): R e = ρ U $\rho U U$$\mu U/L$ Parafuerzas de viscosidadRebajasdominan (régimen laminar) y parafuerzas de inerciaRealtasdominan (régimen turbulento). Los números adimensionales comoReaparecen de forma natural a través de un proceso conocido como 'escala' en el que las ecuaciones se hacen no dimensionales; a través de este proceso, es posible decir qué términos son insignificantes en función de los valores de números adimensionales relevantes. Para obtener más información, consulte mi respuesta aestapregunta.

Técnicamente, decir 'bajo flujo y alta viscosidad' no es suficiente para decir que estamos tratando con un bajo flujo de porque también depende de la escala de longitud L (generalmente un diámetro de tubería, etc.) y la densidad ρ (de aire o agua ), pero generalmente se da a entender que ese es el caso.$\mathrm{Re}$$L$$\rho$

Ahora, para un caudal bajo, es incorrecto; lo que probablemente quiere decir es que u β ∂ β u α ≪ μ ∂ 2 β u α . Esto justifica la simplificación de las ecuaciones diciendo que u β ∂ β u α ≈ 0, lo que físicamente significa que los términos de inercia son completamente insignificantes en comparación con los términos viscosos. u β ∂ β u α ≈ 0 no implica ∂ β $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$ más bien, el bajo caudal implica u β ≈ 0, mientras que ∂ β u α puede ser significativo. Considere la estimación del orden de magnitud de ∂ β u α ∼ U / L ; para valores pequeños de L (contribuye a un bajo R e ) puede ser mucho mayor que el orden O ( U ) . Un análisis similar de orden de magnitud de los términos viscosos ∂ 2 β u α ∼ U / L $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\approx0$$\partial_\beta u_\alpha$$\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$$L$$\mathrm{Re}$$O(U)$$\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$muestra que estos serán aún más significativos. Por lo tanto, la razón por la cual los términos de inercia son insignificantes pero los términos viscosos no lo son.

$\nabla ^2 \vec{v}$$|\vec{v}|$$v$$w$$u$

$u$$\nabla u$$\nabla u$

$\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$