Un argumento del teorema de circulación de Kelvin

Página No. 318, "Fundamentos de la aerodinámica" de John Anderson.

El autor aquí afirma, según el teorema de circulación de Kelvin, que la circulación inicial alrededor de un circuito cerrado que incluye la superficie de sustentación cuando el flujo es estacionario, que es 0, debe ser igual al valor final de circulación en ese circuito cerrado una vez que el flujo ha alcanzado un estado estable .

Bueno. Hasta ahora tan bueno.

Pero luego, argumenta que la circulación negativa del vórtice inicial es la razón de la formación de la circulación positiva alrededor del perfil aerodinámico.

Ahora, lo anterior solo puede ser cierto cuando el perfil aerodinámico, una vez que se ha alcanzado el flujo en estado estable, sigue siendo parte del circuito cerrado formado por esos elementos fluidos iniciales.

Pero, aquí está la cosa. Esos elementos fluidos iniciales ya han cruzado el perfil. No hay obligación de que la superficie de sustentación permanezca en todo momento encerrada en ese circuito, hecha por esos mismos elementos fluidos.

Si es así, entonces el teorema de circulación de Kelvin simplemente no puede aplicarse de la forma en que el autor lo presenta para el perfil aerodinámico.

Si es así, entonces el vórtice inicial no debería ser la razón del desarrollo de la circulación alrededor del perfil aerodinámico, ¿o debería?

Se necesita cierta claridad.

$t$

Recuerde que la circulación se define por

$$\Gamma = \oint_{C(t)}\boldsymbol{u}d\boldsymbol{r}.$$

Por lo tanto, los límites de su sistema siempre deben incluir ambos vórtices. La explicación matemática es que un vórtice no es más que una singularidad matemática. La velocidad de tal vórtice viene dada por$\boldsymbol{u}_{\text{V}}$

$$\boldsymbol{u}_{\text{V}}=\dfrac{\Gamma_0}{2\pi r}$$

es fácil ver que explota para . Tan pronto como esta singularidad esté en el límite del sistema, cruzará el contorno , por lo tanto, la circulación no está bien definida desde este punto en adelante porque es la línea integral sobre este contorno. Si comienza desde el punto en el que el contorno solo encierra uno de los vórtices, puede volver a aplicar el teorema de circulación de Kelvin$\boldsymbol{u}_{\text{V}}$$r \to 0$$C(t)$

$$\dfrac{D\Gamma}{Dt} = 0 \implies \Gamma = \text{const.}$$ pero ahora la circulación inicial es igual a y permanecerá así mientras el vórtice (= singularidad) no cruzará el límite.$\Gamma = \text{const.}$