¿Qué significa realmente "liberación del extremo del haz" y cómo se modela en términos matemáticos?

Estoy leyendo un documento sobre la liberación del extremo de la viga aquí :

Una liberación final permitirá que uno o ambos extremos de un elemento de viga giren o se trasladen a lo largo de uno o más de los ejes locales de la viga.

Y el artículo continúa con el siguiente diagrama:

(a) Viga fija-fija con un punto de articulación en 1 y 2.

(b) La rotación teórica o pendiente de las vigas. Observe cómo el resultado es discontinuo en los puntos de articulación.

La comprensión que obtengo de lo anterior es que si liberamos en el extremo de una viga, entonces se convertirá en una bisagra (y, por lo tanto, la rotación al final no es continua), y eso es todo. ¿Es verdad?

Si esto es cierto, entonces no entiendo el término publicado en el momento en el software RISA:

Ni siquiera estoy seguro de si la liberación del extremo del haz y la liberación del momento final están conectadas, y en caso afirmativo, cómo.

¿Cómo se modelan matemáticamente la liberación final de la viga y la liberación final de momento?

Matemáticamente, se logra una liberación dando una rigidez de cero.

Una liberación en rotación es lo mismo que una liberación en el momento: la única forma de garantizar la continuidad de la rotación de un miembro a otro es transferir el momento entre ellos. Por lo tanto, un momento de liberación final es una rigidez de cero contra la rotación alrededor del eje relevante.

Técnicamente, puede liberar un extremo de la viga en cualquier grado de libertad (de ahí la opción final de RISA). En la práctica, la gran mayoría de los lanzamientos de extremo de viga utilizados son lanzamientos de momento, por lo tanto, su primera fuente ha combinado los dos.

La liberación del extremo de la viga y la liberación del final del momento son lo mismo: se puede pensar como convertir un extremo de viga fijo en uno pivotado (ver más adelante), relajar la restricción en la rotación mientras se impone una nueva restricción en el momento de flexión. La idea de aplicar restricciones a los extremos de la viga es útil para comprender la implicación matemática en el cambio de un extremo de viga fijo a uno pivotado, y se discute a continuación.

Cualquier elemento continuo de una viga, para pequeñas desviaciones, se rige por la siguiente ecuación diferencial:

$E(x)$$I(x)$$u(x)$$q(x)$$x$$L$$x=0$$x=L$

Esta ecuación es una ecuación diferencial de cuarto orden, por lo que requiere cuatro ecuaciones límite. Esto se hace aplicando dos restricciones en cada extremo. Hay tres tipos diferentes de extremo de viga, cada uno con diferentes restricciones para aplicar:

FIN FIJO

Aquí es donde el extremo de la viga se sujeta rígidamente a, por ejemplo, una pared. Este extremo permite que las fuerzas de corte y los momentos de flexión se transmitan desde la viga a la pared. El final de la viga aquí no puede girar ni desplazarse verticalmente. Esto es como los extremos del haz que se muestran en el primer diagrama de su pregunta antes de liberar cualquiera de los extremos.

$x=0$

$u(0) = 0$

$\theta(0) = \frac{du(0)}{dx} = 0$

FIN PIVOTADO

Este es su extremo liberado por el momento: el rayo aún puede no desplazarse verticalmente al final, pero puede rotar. Sin embargo, dado que puede girar, la viga ya no puede transmitir momentos de flexión al soporte, por lo que debe establecerse un momento de flexión de cero al final. Por lo tanto, liberado en el momento.

$x=0$

$u(0) = 0$

$M(0) = 0$

$M(x)=-E(x)I(x) \frac{d^2 u}{dx^2}$

FIN GRATIS

Este tipo de extremo de la viga no está conectado a nada: es libre de desplazarse y girar en los extremos. Sin embargo, no se pueden transmitir momentos de flexión o fuerzas de corte desde el extremo ya que no hay nada unido.

$x=0$

$M(0) = 0$

$S(0) =0$

$S(x) = -\frac{d}{dx} \left(E(x)I(x) \frac{d^2 u}{dx^2} \right)$

Tenga en cuenta que un voladizo es una viga con un extremo fijo y un extremo libre, y una viga simplemente apoyada tiene ambos extremos pivotados.

Al establecer dos restricciones para cada extremo, se puede obtener la solución general a la ecuación diferencial, lo que permite determinar el desplazamiento vertical, la rotación, la curvatura, los momentos de flexión y las fuerzas de corte.

Una viga podría moverse en 3 ejes x, y, z y doblarse en 3 ejes y rotar a lo largo del eje x (torsión). En todos y cada uno de estos casos, el soporte puede actuar de varias maneras, permitir el movimiento libre, permitir que no se mueva, permitir el movimiento resistido, impartir restricciones duras preconfiguradas, como es el caso de las barras de refuerzo de tensión previa / posterior o ninguna. Desplazamiento flexible diseñado previamente para cargar el miembro en la configuración deseada.

Liberar un extremo significa liberar una o varias o todas estas restricciones. He trabajado con Risa, es un buen software FEM pero hace 25 años la versión que tenía no tenía un buen menú de lanzamiento. Como la restricción cargada por resorte o el desplazamiento duro preestablecido.