Prueba matemática de que el voltaje RMS multiplicado por la corriente RMS proporciona potencia media

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Sé que esto es cierto porque lo leí en una fuente confiable. También entiendo intuitivamente que la potencia es proporcional al cuadrado de voltaje o corriente para una carga resistiva, y que la "S" en RMS es para "cuadrado". Estoy buscando una prueba matemática difícil.

Supongamos que denota la corriente en el instante , y asimismo denota el voltaje en ese instante. Si podemos medir el voltaje y la corriente en todos los instantes, y hay instantes, entonces la potencia aparente media es:IiiVin

PAGS=1norteyo=yonorteyoyoVyo

¿Qué es una elegante prueba matemática de que

PAGS=yoRMETROSVRMETROS

logra el mismo resultado para cargas resistivas?

Phil Frost
fuente
Si no recuerdo mal, debería haber una prueba que indique cómo RMS es la aproximación más cercana del valor real de una señal en el tiempo de interés. Usando eso, probablemente podríamos probar que . Desafortunadamente, parece que perdí el libro que tenía la prueba de eso. :(P=IrmsVrms=1T2T1T1T2V(t)I(t)dt
AndrejaKo
Tiempos de corriente RMS El voltaje RMS no es igual a la potencia media. Es igual (media) a la potencia aparente. Si tiene cargas no resistivas, esto puede marcar la diferencia.
SomeoneSomewhereSupportsMonica

Respuestas:

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Ley de Ohm

1:V(t)=yo(t)R

La disipación de potencia instantánea es producto del voltaje y la corriente

2:PAGS(t)=V(t)yo(t)

Sustituya 1 en 2 para obtener potencia instantánea a través de una resistencia en términos de voltaje o corriente:

3:PAGS(t)=yo2(t)R=V2(t)R

La potencia promedio es, por definición, la integral de la potencia instantánea durante un período, dividida por ese período. Sustituya 3 en eso para obtener la potencia promedio en términos de voltaje y corriente.

4 4:PAGSunvsol=0 0TPAGS(t)retT=R0 0Tyo2(t)retT=0 0TV2(t)retRT

Definición de corriente RMS

5 5:yoRMETROS=0 0Tyo2(t)retT
Cuadrar ambos lados
6 6:yoRMETROS2=0 0Tyo2(t)retT
Multiplique por R para encontrar la ecuación 4 para la potencia promedio
7 7:yoRMETROS2R=R0 0Tyo2(t)retT=PAGSunvsol
Definición de voltaje RMS
8:VRMS=0TV2(t)dtT
Cuadrado de ambos lados
9 9:VRMETROS2=0 0TV2(t)retT
Divide entre R para encontrar la ecuación 4 para la potencia promedio
10:VRMETROS2R=0 0TV2(t)retRT=PAGSunvsol
Multiplica las expresiones 7 y 10 para la potencia promedio
11:Pavg2=VRMS2IRMS2
Raíz cuadrada de ambos lados
12:Pavg=VRMSIRMS
QED
Stephen Collings
fuente
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La prueba muy simple (en el caso de muestreo discreto en la pregunta) es mediante la sustitución de E / R por I en la ecuación RMS

xrms=1n(x12+x22+x++xn2).

y álgebra muy simple.

Y sí, esto es cierto porque se especifica que tenemos una carga puramente resistiva, por lo que no hay problema de ángulo de fase ni armónico presente en I que tampoco esté presente en E.

EDITAR

definición de RMS para puntos discretos (de Wikipedia):

xrms=1n(x12+x22++xn2)

entonces

VRMS=1n(V12+V22++Vn2)

y

IRMS=1n(I12+I22++In2)

y por la Ley de Ohm sustitución:

Ii=Vi/R

IRMS=1n((V1/R)2+(V2/R)2++(Vn/R)2)

luego:

IRMS=1n(V12/R2+V22/R2++Vn2/R2)

Sacando el 1 / R ^ 2

IRMS=1R1n(V12+V22++Vn2)

entonces:

VRMSIRMS
is:

1/R(1n(V12+V22++Vn2))

distributing the 1/R:

(1norte(V12/ /R+V22/ /R++Vnorte2/ /R))

Usando la sustitución de la Ley de Ohm nuevamente:

(1norte(V1yo1+V2yo2++Vnorteyonorte))

cual es:

1norteyo=yonorteyoyoVyo
George White
fuente
Si el álgebra es simple, ¿puedes mostrarnos? Puede usar el marcado LaTeX para componer las matemáticas.
Phil Frost
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Gracias por el aliento. No había usado LaTex desde 1983.
George White
0

La clave es que para una carga resistiva, el voltaje y la corriente están en fase.

Si el voltaje y la corriente son ambos pecado(t), entonces su producto está dado por la igualdad pecado2(t)=1/ /2+1/ /2pecado(2t). La potencia es una onda sinusoidal del doble de la frecuencia, que oscila alrededor de1/ /2. Este es su promedio en el tiempo (la "media" del "cuadrado"). La raíz del cuadrado medio es1/ /2=1/ /2=2/ /20,707. Ahí es donde obtenemos ese número mágico.

La tensión o corriente cuadrática media raíz es el voltaje y la corriente equivalentes de CC que producirán la misma disipación de potencia con el tiempo . Si la disipación de potencia promedio es1/ /2 W, entonces tal disipación de potencia puede ser producida constantemente por 2/ /2 VDC multiplicado por 2/ /2 A DC

Si la corriente y el voltaje están desfasados ​​90 grados (carga reactiva pura), entonces podemos pensar que uno es cos(t) y el otro ser pecado(t). La igualdad aplicable es entoncespecado(t)cos(t)=1/ /2pecado(2t). La forma de onda de potencia ya no está "sesgada" para oscilar1/ /2; su promedio es cero: la energía fluye hacia adentro y hacia afuera de la carga en medios ciclos alternos, a medida que la forma de onda de energía oscila positiva y negativamente.

Entonces, para responder a la pregunta, el voltaje y la corriente RMS se definen en función de la potencia media: cada uno se deriva de la raíz cuadrada de la potencia media. Multiplicando dos valores que se obtienen de la raíz cuadrada de la potencia media, recupera la potencia media.

Kaz
fuente
Creo que la respuesta de Stephen Colling es la mejor. No se basa en los detalles de la forma de onda y cubre el caso continuo. Además, "El voltaje o la corriente cuadrática media raíz son el voltaje y la corriente equivalentes de CC que producirán la misma disipación de potencia con el tiempo" parece responder a la pregunta al asumir la respuesta y luego ir en un círculo para obtener la respuesta.
George White
-2

Vamos a simplificar más este problema sin las matemáticas. Tome este circuito simple que produce una forma de onda cuadrada con un período de 10 segundos.

ingrese la descripción de la imagen aquí

El voltaje es así

ingrese la descripción de la imagen aquí

y actual es

ingrese la descripción de la imagen aquí

Entonces la forma de onda de potencia será

ingrese la descripción de la imagen aquí

Cuando el interruptor está abierto, no se suministra energía a la resistencia, por lo que la energía total es de 10 vatios X 5 segundos = 50 julios, y es lo mismo que aplicamos 5 vatios en 10 segundos ingrese la descripción de la imagen aquí

y este es el poder promedio. El voltaje promedio es de 5 voltios y la corriente promedio es de 0.5 amperios. Haciendo un cálculo simple, la potencia promedio da como resultado 2.5 vatios o 25 julios, lo cual no es cierto.

Así que hagamos este truco CON ESTE ORDEN:

  1. Primero al cuadrado el voltaje (y corriente)

  2. Segundo toma el promedio del cuadrado

  3. Luego saca la raíz cuadrada del promedio

El cuadrado de la forma de onda de voltaje será

ingrese la descripción de la imagen aquí

Y el promedio es 50V ^ 2 (no 50 ^ 2 voltios). Desde este punto, olvídate de la forma de onda. Solo valores. La raíz cuadrada del valor anterior es 7,071… voltios RMS. Haciendo lo mismo con la corriente encontrará 0,7071..A RMS y la potencia promedio será de 7,071V x 0,7071A = 5 vatios

Si intenta hacer lo mismo con la potencia RMS, el resultado será de 7.071 vatios sin sentido.

Entonces, la única potencia de calentamiento equivalente es la potencia promedio y la única manera de calcular es usar los valores rms de voltaje y corriente

GR Tech
fuente
¿No podemos calcular la potencia promedio disipada en una resistencia como el promedio de la potencia instantánea? ¿Dónde está la prueba matemática que solicitó el OP?
Joe Hass
Para algunas formas de onda complejas, por supuesto, tenemos que integrarlas usando intervalos de tiempo cercanos a cero para valores promedio exactos. Evito usar cualquier matemática, es por eso que uso la onda cuadrada, que es muy fácil de ver el significado del promedio. RMS también es un valor promedio.
GR Tech
Me parece que muestra que la potencia promedio real es de 5 vatios y que RMS V * RMS I = 5 vatios, lo que demuestra, en este caso, que el OP es correcto. También muestra que, en este caso, el promedio V * promedio I = 2.5 vatios.
George White
Vale, entiendo. Problema de lenguaje nuevamente. Lo que intentaba decir es que el cálculo Vavg x Iavg no es correcto. Gracias por desanimarme!
GR Tech
Si "RMS también es un valor promedio", ¿por qué el valor RMS del voltaje de la línea de alimentación no es igual a 0.0V como el valor promedio?
Joe Hass el