¿Diferencia entre respuesta natural y respuesta forzada?

Referencia

Segunda publicación en EdaBoard.com

La respuesta temporal de un sistema es la evolución temporal de las variables. En los circuitos, estas serían las formas de onda de voltaje y corriente versus tiempo.

La respuesta natural es la respuesta del sistema a las condiciones iniciales con todas las fuerzas externas puestas a cero. En los circuitos, esta sería la respuesta del circuito con condiciones iniciales (corrientes iniciales en inductores y voltaje inicial en condensadores, por ejemplo) con todos los voltajes independientes establecidos en cero voltios (cortocircuito) y fuentes de corriente configuradas en cero amperios (circuito abierto ) La respuesta natural del circuito estará dictada por las constantes de tiempo del circuito y, en general, por las raíces de la ecuación de características (polos).

La respuesta forzada es la respuesta del sistema a un estímulo externo con cero condiciones iniciales. En los circuitos, esto sería solo la respuesta del circuito a la tensión externa y la función de forzamiento de la fuente de corriente ... continúe leyendo

Preguntas

1. ¿Cómo puede haber incluso una respuesta natural? ¿Se debe ingresar algo para crear una salida? La forma en que lo veo es como cerrar la línea principal de agua y luego abrir el grifo y esperar que salga agua.

2. ¿Cómo podemos v(t)resolverlo (del enlace anterior) si no sabemos dv(dt)para encontrar la respuesta natural?

3. Si puede ampliar los 2 conceptos (respuesta natural y respuesta forzada) explicando sus diferencias en términos de Layman, sería maravilloso.

1. Dada una ecuación 10dy/dt + 24y = 48significa rate of change of output + 24 * output = 48. Las condiciones iniciales son y(0)=5y dy/dt=0.
   • Eso significaría que la entrada es 48/(24*5)¿Es una suposición correcta? La solución a eso es ¿ 0.4cuál es la entrada constante?

Piense en un sistema mecánico simple como una barra elástica o un bloque unido a un resorte contra la gravedad, en el mundo real. Cada vez que le dé un pulso al sistema (al bloque o a la barra), comenzarán una oscilación y pronto dejarán de moverse.

Hay formas de analizar un sistema como este. Las dos formas más comunes son:

1. Solución completa = solución homogénea + solución particular

2. Respuesta completa = respuesta natural (entrada cero) + respuesta forzada (estado cero)

Como el sistema es el mismo, ambos deberían resultar en la misma ecuación final que representa el mismo comportamiento. Pero puede separarlos para comprender mejor lo que significa cada parte físicamente (especialmente el segundo método).

En el primer método, piensa más desde el punto de vista de un sistema LTI o una ecuación matemática (ecuación diferencial) donde puede encontrar su solución homogénea y luego su solución particular. La solución homogénea se puede ver como una respuesta transitoria de su sistema a esa entrada (más sus condiciones iniciales) y la solución particular se puede ver como el estado permanente de su sistema después / con esa entrada.

El segundo método es más intuitivo: la respuesta natural significa cuál es la respuesta del sistema a su condición inicial. Y la respuesta forzada es la respuesta del sistema a esa entrada dada pero sin condiciones iniciales. Pensando en términos de ese ejemplo de barra o bloque que di, puedes imaginar que en algún momento empujaste la barra con las manos y la sostienes allí. Este puede ser tu estado inicial. Si lo dejas ir, oscilará y luego se detendrá. Esta es la respuesta natural de su sistema a esa condición.

También puede soltarlo, pero sigue dando energía adicional al sistema al golpearlo repetidamente. El sistema tendrá su respuesta natural como antes, pero también mostrará un comportamiento adicional debido a sus golpes adicionales. Cuando encuentra la respuesta completa de su sistema mediante el segundo método, puede ver claramente cuál es el comportamiento natural del sistema debido a esas condiciones iniciales y cuál es la respuesta del sistema si solo tuviera la entrada (sin condiciones iniciales). Ambos juntos representarán todo el comportamiento del sistema.

Y tenga en cuenta que la respuesta de estado cero (respuesta forzada) también puede consistir en una porción "natural" y una porción "particular". Esto se debe a que, incluso sin condiciones iniciales, si proporciona una entrada al sistema, tendrá una respuesta transitoria + respuesta de estado permanente.

Respuesta de ejemplo: imagine que su ecuación representa el siguiente circuito:

Cuál es su salida y (t) es la corriente del circuito. E imagine que su fuente es una fuente DC de + 48v. De esta manera, haciendo la suma del voltaje del elemento en este camino cerrado, obtienes:

$\epsilon=V_L+V_R$

Podemos reescribir el voltaje del inductor y el voltaje de la resistencia en términos de corriente:

$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri$

Si tenemos una fuente de energía de + 48VDC y L = 10H y R = 24Ohms, entonces:

$48=10\frac{di}{dt}+24i$

que es exactamente la ecuación que usaste. Por lo tanto, principalmente su entrada al sistema (circuito RL) es su fuente de alimentación de + 48v solamente. Entonces su entrada = 48.

Las condiciones iniciales que tiene son y (0) = 5 e y '(0) = 0. Físicamente representa que en el momento = 0, mi corriente del circuito es 5A pero no varía. Puede pensar que algo sucedió anteriormente en el circuito que dejó una corriente en el inductor de 5A. Entonces, en ese momento dado (momento inicial) todavía tiene esos 5A (y (0) = 5) pero no aumenta o disminuye (y '(0) = 0).

Resolviéndolo:

primero asumimos la respuesta natural en el formato:$Ae^{st}$

y luego encontraremos el comportamiento del sistema debido a su condición inicial, como si no tuviéramos una fuente de alimentación ( ), que es la respuesta de entrada cero:$\epsilon=0$

$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0$

$Ae^{st}(10s + 24)=0$

$s=-2,4$

Entonces,

$i_{ZI}(t)=Ae^{-2,4t}$

Como sabemos que i (0) = 5:

$i(0)=5=Ae^{-2,4 . 0}$

$A=5$

$i_{ZI}(t)=5e^{-2,4t}$

Tenga en cuenta que hasta ahora todo es consistente. Esta última ecuación representa la respuesta del sistema sin entrada. Si pongo t = 0, encuentro i = 5 que corresponde a la condición inicial. Y si pongo encontraré i = 0, lo que también tiene sentido si no tengo ninguna fuente.$t=+\infty$

Ahora podemos encontrar la solución particular a la ecuación que representará el estado permanente debido a la presencia (entrada) de la fuente de alimentación:

Suponemos ahora que donde es un valor constante que representa la salida del sistema en el estado permanente ya que la entrada también es una constante. Para cada sistema, el formato de salida depende del formato de entrada: si la entrada es una señal sinusoidal, la salida también lo será. En este caso solo tenemos valores constantes que facilitan las cosas.$i(t)=c$$c$

Entonces,

$\frac{di}{dt}=0$

luego,

$48 = 0.10 + 24c$ (usando la ecuación diferencial)

$c=2$

$i(\infty)=2$

lo que también tiene sentido porque tenemos una fuente de alimentación de CC. Entonces, después de la respuesta transitoria de encender la fuente de alimentación de CC, el inductor se comportará como un cable y tendremos un circuito resistivo con R = 24Ohms. Entonces deberíamos tener 2A de corriente ya que la fuente de alimentación tiene 48V a través de ella.

Pero tenga en cuenta que si solo agrego ambos resultados para encontrar la respuesta completa, tendremos:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t}$

Ahora estropeé las cosas en el estado transitorio porque si pongo t = 0 ya no encontraremos i = 5 como antes. Y nosotros tenemos que encontrar i = 5 cuando t = 0, ya que es una condición inicial dada. Esto se debe a que la respuesta de estado cero tiene un término natural que no está allí y también tiene el mismo formato que encontramos antes. Agregándolo allí:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{st}$

La constante de tiempo es la misma, por lo que solo nos dejó B:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{-2,4t}$

Y sabemos que:

$i(t) = 2 + 5 + B = 5$ (t = 0)

Entonces,

$B=-2$

Entonces, su solución completa es:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} - 2e^{-2,4t}$

Puede pensar en este último término que encontramos como un término de corrección de la respuesta forzada para que coincida con las condiciones iniciales. Otra forma de encontrarlo es imaginar el mismo sistema pero no sin condiciones iniciales. Luego, resolviendo todo el camino nuevamente, tendríamos:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t}$

Pero como ahora no estamos considerando las condiciones iniciales (i (0) = 0), entonces:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t} = 0$

Y cuando t = 0:

$A=-2$

entonces la respuesta forzada (estado cero) de su sistema es:

$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2,4t}$

Es un poco confuso, pero ahora puedes ver las cosas desde diferentes perspectivas.

-Homogéneas / Soluciones particulares:

$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2,4t}$

El primer término (2) es la solución particular y representa el estado permanente. El resto del lado derecho es la respuesta transitoria, también llamada solución homogénea de la ecuación. Algunos libros llaman a esto también Respuesta natural y Respuesta forzada ya que la primera parte es la parte forzada (debido a la fuente de alimentación) y la segunda parte es la parte transitoria o natural (característica del sistema). Esta es la forma más rápida de encontrar la respuesta completa, creo, porque solo tienes que encontrar el estado permanente y una respuesta natural una vez. Pero puede que no esté claro qué representa qué.

-Entrada cero / estado cero:

$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2,4t} + 5e^{-2,4t}$

Tenga en cuenta que es la misma ecuación pero el segundo término se divide en dos. Ahora, los dos primeros términos ( ) representan la respuesta de estado cero. En otras palabras, qué pasaría con el sistema si no hubiera corriente inicial y usted ENCIENDA la fuente de alimentación de + 48V.$2 - 2e^{-2,4t}$

La segunda parte ( ) representa la respuesta de entrada cero. Le muestra lo que sucedería con el sistema si no se proporcionara ninguna entrada (la fuente de alimentación permaneció en 0v). Es solo un término exponencial que iría a cero ya que no tiene entrada.$5e^{-2,4t}$

Algunas personas también llaman a este formato de respuesta Natural / Forzada. La parte natural sería Entrada cero y la parte Forzada sería el Estado cero, que por cierto está compuesto por un término natural y un término particular.

Nuevamente, todos le darán el mismo resultado que representa el comportamiento de la situación completa, incluida la fuente de alimentación y las condiciones iniciales. Solo tenga en cuenta que en algunos casos puede ser útil usar el segundo método. Un buen ejemplo es cuando está utilizando convoluciones y puede encontrar la respuesta de impulso a su sistema con estado cero. Por lo tanto, romper esos términos podría ayudarlo a ver las cosas con claridad y también usar un término adecuado para convolucionarse.

¿Cómo puede haber incluso una respuesta natural? ¿Se debe ingresar algo para crear una salida?

Si ayuda, piense en la respuesta natural como la respuesta forzada a una entrada de impulso.

La forma en que lo veo es como cerrar la línea principal de agua y luego abrir el grifo y esperar que salga agua.

Imagine que la tubería de agua está conectada a un tanque de retención grande como se usa en los sistemas de agua de pozo y cierra la válvula a la tubería de agua.

El tanque se ha llenado con agua y se presuriza a la presión principal del agua antes de cerrar la válvula. Esta es la condición inicial .

Si abre el grifo, saldrá agua . El tanque de retención entregará agua por un período de tiempo, a medida que el tanque de retención se vacíe, y la presión en el grifo caerá. Esta disminución del flujo de agua y la caída de presión sería la respuesta natural del sistema.

Ahora, después de que el tanque de retención se haya vaciado, abre rápidamente la válvula principal de agua mientras el grifo todavía está abierto.

La mayor parte del flujo de agua es inicialmente para "cargar" el tanque de retención y, a medida que el tanque se llena y la presión aumenta, el agua fluye a un ritmo creciente desde el grifo hasta que el tanque está lleno y el flujo y la presión se estabilizan.

Esta es la respuesta forzada a una entrada escalonada .

Este es el problema con los libros de texto que no definen claramente todo para que todos puedan entender las definiciones. La respuesta natural realmente está hablando de un sistema que (en algún momento) se había "cargado" de tal manera que los elementos de almacenamiento de energía contienen cierta cantidad de energía inicial, que podría traducirse en un voltaje inicial en un condensador o una corriente inicial en un inductor. Estos dan como resultado los valores de condición inicial para condensadores o inductores. Luego, en el momento t = 0, se supone que la fuente mágica responsable de energizar el circuito se elimina instantáneamente. Entonces, si la fuente mágica hubiera sido una fuente de voltaje, entonces 'eliminarla' podría significar eliminarla físicamente o desconectarla del circuito. Entonces, en el tiempo t = 0, la respuesta natural será simplemente el comportamiento de una corriente a través de un inductor o capacitor, o un voltaje a través de un capacitor o inductor. Y el circuito está alimentado solo por aquellos componentes cargados inicialmente (porque suponemos que no hay entrada de fuente 'externa' para el tiempo t = 0 en adelante).

Entonces, para la respuesta natural, es realmente un caso en el que 'una vez hubo' alguna entrada externa para producir las condiciones iniciales en los inductores y condensadores. Ahora, si el sistema no estaba cargado para empezar, de modo que todos los voltajes y corrientes de condensador e inductor fueran cero para comenzar, ¿cuál sería la respuesta natural del sistema? Respuesta: cero

Ahora, la respuesta forzada es la respuesta de un circuito (como un comportamiento de voltaje o comportamiento de corriente) para el caso en el que suponemos que los inductores y condensadores no tienen energía inicial para empezar, lo que significa que no hay voltaje inicial o corrientes iniciales en estos componentes . Y luego, de repente, aplicamos una fuerza externa (fuente) a la entrada del circuito. El comportamiento de las corrientes y / o tensiones del circuito para este escenario solo recibe un nombre ... llamado respuesta forzada. Básicamente, es una respuesta a una fuente de entrada basada en el supuesto de que comenzamos con cero condiciones de energía inicial en inductores y condensadores.

Una vez que hemos usado métodos para obtener convenientemente la respuesta natural y la respuesta forzada, simplemente sumamos ambas partes para obtener la imagen completa. Algo así como el principio de superposición.

No estoy familiarizado con el término 'respuesta forzada' en este contexto, pero aquí va. Muchos sistemas pueden caracterizarse como primer orden más tiempo muerto (FOPDT). La "respuesta natural" de tal sistema al estímulo es un retraso inicial seguido de un enfoque exponencial a un nuevo estado estacionario.

Piense en un elemento calentador suministrado por una fuente de voltaje variable. Las condiciones iniciales son apagado y calentador a temperatura ambiente. Encienda a unos 10 voltios. Por un corto tiempo (el tiempo muerto) la temperatura del calentador no cambia. La temperatura comienza a aumentar, rápidamente al principio, luego gradualmente se estabiliza en un nuevo estado estable. Si observa cuidadosamente los tiempos involucrados, tendrá tres características naturales del sistema:

1. Ganancia: expresada en grados / voltios. Si los 10 voltios causaron una ganancia de 20 grados, entonces ganancia = 2. Entonces, para una entrada de 20 voltios, debe esperar un aumento de 40 grados con respecto al ambiente.
2. Tiempo muerto: retraso esperado en respuesta a un cambio de entrada. (inercia)
3. Constante de tiempo o frecuencia natural: el tiempo desde el inicio del cambio hasta el estado estable es de 5 constantes de tiempo. (como cargar un condensador)

Con estos datos puede predecir cuánto cambio de temperatura esperar para un cambio de voltaje dado y cuánto tiempo llevará, es decir, la respuesta natural.

Supongo que una 'respuesta forzada' implicaría sobreestimular el sistema para obtener un resultado más rápido. Entonces, para aumentar 30 grados, sabemos que necesitamos un aumento de 15 voltios en la entrada. Al aumentar el voltaje en 25 voltios brevemente y luego retroceder 10 voltios, podríamos alcanzar la temperatura final deseada más rápido, es decir, 'forzar' una respuesta más rápida.