Estabilidad condicional

Estoy aprendiendo sobre amplificadores operacionales y comentarios y cómo los comentarios afectan su estabilidad. He estado leyendo sobre ganancia y margen de fase y sus usos cuando me encontré con esto :

No entiendo cómo el sistema que se muestra en la imagen será estable dado que a aproximadamente 2 kHz, la retroalimentación será positiva; Pensé que esto haría que una frecuencia de 2 kHz se volviera más y más grande y no convergiera.

¿Por qué este sistema será estable?

Esta es exactamente la razón por la que creo que las personas deberían estudiar la estabilidad primero usando los gráficos de Nyquist, LUEGO usando los gráficos de Bode y los diagramas de ganancia y margen de fase asociados.

Los márgenes de ganancia / fase son solo una manera conveniente de determinar qué tan cerca llega el sistema a tener polos en el lado derecho del plano complejo, en términos de qué tan cerca llega el gráfico nyquist a -1, porque después de la expansión de fracción parcial esos términos con los polos positivos terminan como exponenciales de tiempo con coeficiente positivo, lo que significa que va al infinito, lo que significa que es inestable.

Sin embargo, solo funcionan cuando la trama de nyquist tiene un 'aspecto normal'. Es muy posible que haga algo como esto:

Por lo tanto, viola la regla del margen de fase, pero la función de transferencia de bucle abierto G (s) H (s) no rodea -1, por lo que 1 + G (s) H (s) no tiene ceros en el lado derecho, lo que significa que el circuito cerrado no tiene polos en el lado derecho, por lo que sigue siendo estable.

La palabra condicional proviene del hecho de que la ganancia tiene límites superiores / inferiores para mantenerla de esta manera, y cruzarlos hace que el sistema sea inestable (porque desplaza la curva lo suficiente como para cambiar el número de veces que -1 está rodeado).

Estabilidad condicional en una respuesta de bucle abierto.

Primero, dado que esto es de Ridley, puede apostar que esta es una respuesta de bucle abierto de un convertidor de potencia. Esta respuesta será estable para la ganancia mostrada para pequeñas perturbaciones de bucle lineal. Si la perturbación del bucle se vuelve lo suficientemente grande como para conducir los amplificadores a una operación no lineal, el bucle probablemente se volverá oscilatorio porque la operación de la región no lineal tendrá una ganancia de amplificador menor.

El problema con bucles como este es que, si bien son estables, es común que los sistemas tengan una ganancia que varía ampliamente con el voltaje de entrada, la carga o la temperatura, o una combinación de todos estos. Si utiliza un bucle condicionalmente estable, debe verificar que ninguna de estas dependencias sea un factor durante cualquier modo de operación (incluidas las condiciones de inicio). Una vez que este tipo de bucles comienzan a oscilar, tienden a pegarse (la oscilación reducirá la ganancia para que sea así).

Tenga en cuenta que el bucle como se muestra se compensa adecuadamente con 2 ceros para cubrir los 2 polos. El problema es que los polos son probablemente de un filtro LC (polos complejos) en el bucle. Habrá un inductor de baja pérdida y un banco de condensadores de baja pérdida que se combinarán para dar una respuesta Q alta. Dado que Q es alta, toda la contribución de fase de la LC ocurrirá en un rango muy pequeño de frecuencia; del gráfico parece una octava para 180 grados de pérdida de fase. Los ceros compensatorios de Opamp serán simples, por lo que el aumento de fase ocurrirá en un lapso de frecuencia de 2 décadas (como mínimo). Por lo tanto, aunque haya un refuerzo de fase adecuado para cubrir la pérdida de fase de LC, habrá una caída de fase y un margen de fase negativo o negativo en el medio cerca de los polos.

Posibles remedios para este tipo de respuesta de bucle:

• Los ceros compensatorios se pueden dividir para que uno entre antes de los polos (ponga los polos entre paréntesis), agregando un poco de patada de fase antes. Eso podría resultar en un mayor margen de fase en la fase de caída, pero podría no ser suficiente.

• La mejor acción suele ser reducir la Q del filtro LC.

Deconstrucción de bucle:

Para mostrar cómo podría producirse este tipo de respuesta de bucle abierto, el bucle se puede deconstruir utilizando un modelo de mentalidad simple.

Realmente no conozco el circuito que dio la respuesta que publicó el OP, pero sospecho que, en función de la apariencia de la respuesta, proviene de un regulador de impulso de modo de conducción continua. Un modelo básico incluiría un filtro LC, PowerModulator y un amplificador de error. Un semi-esquema de una versión de circuito abierto de CA es:

El circuito en general reflejará el comportamiento de un circuito de refuerzo CCM, aunque los detalles aquí se eligen para que sean razonables y obtengan la coincidencia más conveniente con el ciclo publicado ... con la menor cantidad de trabajo. Esta es solo una herramienta para ayudar a separar todas las partes del bucle y mostrar cómo se unirían para formar el bucle total.

Comencemos con el resultado de este modelo, el ciclo completo:

No está mal ... se ve bastante cerca del original. Puede ver que el carácter básico del bucle es un integrador con una perturbación resonante LC a 1000Hz. A frecuencias por debajo de los polos LC, la ganancia del bucle se reduce a -20dB por década, y a frecuencias por encima de la ganancia de los polos LC se reanuda una disminución de -20dB por década. Entonces, dado que en general hay una caída de 1 polo (-20dB /), algo ha manejado esos 2 polos LC cubriéndolos con ceros. Hay artefactos adicionales que se muestran por encima de ~ 20 kHz; ESR cero en el filtro LC, medio plano cero derecho (rhpz) y frecuencia Nyquist; que se mencionará brevemente

Respuesta del filtro LC:

$C_o$

Modulador de potencia con filtro LC:

El modulador de potencia se ha agregado al filtro LC aquí. El modulador de potencia tiene 30dB de ganancia, el semiplano derecho cero a 70kHz y un polo para la frecuencia Nyquist a 100kHz (sí, sé que agregar un polo no es la forma correcta de manejar Nyquist, pero tendrá que hacerlo para esto ) Excepto por tener 30dB de ganancia, el gráfico de ganancia se ve igual que solo el LC. ¿Pero qué hay de esa fase? Es el rhpz que exhibe la fase como un polo lhp, pero gana como un lhp cero. Esto es principalmente por qué la fase de bucle abierto nunca se recupera tanto como se podría pensar después de la resonancia LC.

Amplificador de error:

Aquí puede ver la respuesta del amplificador con su polo integrador de baja frecuencia, seguido de 2 ceros a aproximadamente 1 kHz y 7 kHz, un polo a 42 kHz para aplanar el último cero antes de llegar al límite de ancho de banda de ganancia del amplificador.

El opamp tenía un ancho de banda de 20MHz con ganancia de 140dB y un polo de baja frecuencia de 2Hz. La ganancia del integrador se establece mediante R1 y C1. El primer cero se establece por C1 y R3. El segundo cero se establece por C2 y R1. El poste de nivelación lo establece C2 y R2.

Primero un poco de aclaración. Lo que traza es la ganancia de bucle L (s), que correspondería a G (s) H (s) en el siguiente diagrama:

La función de transferencia completa (también llamada ganancia de bucle cerrado ) en este caso es:

La transformación inversa tendrá exponenciales crecientes (lo que significa que es un sistema inestable) siempre que esa función tenga polos en el lado derecho (RHS) del plano s. Es lo mismo que descubrir si hay ceros en el RHS del plano s de 1 + L (s). Así que, básicamente, la inestabilidad está determinada por la ganancia del bucle, no hay necesidad de calcular la ganancia de bucle cerrado más compleja. Entonces, cuando se habla de estabilidad, las gráficas son casi siempre de ganancia de bucle L (s).

De vuelta a su pregunta:

Con respecto a la afirmación de que el sistema es inestable cuando la ganancia es mayor que 0 dB con fase invertida (-180), permítanme responder con un contraejemplo fácil de ver. Considere lo muy simple:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

De acuerdo con el criterio excesivamente asumido que dice:

Si la ganancia del bucle es positiva a -180 °, el sistema será inestable.

Entonces si | K | > 1, entonces debe ser inestable.

Sin embargo, no lo es. El resultado es:

Estable.

Por otro lado, si K = -1, entonces tenemos un problema (se vuelve inestable).

Lo anterior fue un ejemplo de solo una constante, pero en general el simple hecho de saber que la ganancia es> 0dB a -180 no implica que el sistema sea inestable . Si su libro dice eso, está mal (pero parecerá ser correcto para muchos casos típicos).

Si comienza a imaginar que el sistema anterior tiene un pequeño retraso y que la señal E no ha tenido tiempo de responder y tiene un valor incorrecto y luego ve cómo se propaga iterativamente a través del bucle, concluirá que la señal crecerá sin ligado. Y con esto caerá en una trampa mental de la que es difícil salir, que es lo que creo que es la idea errónea subyacente que no permite aceptar conceptualmente que el sistema en su pregunta puede ser estable.

El diagrama de Bode es solo una porción de Nyquist, y el criterio de estabilidad de Bode solo es aplicable cuando el diagrama de Nyquist es típico, pero Bode es solo una conveniencia (es más fácil de trazar que Nyquist).

Las gráficas de Nyquist y su versión simplificada de las gráficas de Bode son solo métodos gráficos para principalmente:

1. Averigüe si el sistema tiene polos RHS, que se convierten en exponenciales crecientes.
2. Obtenga información sobre qué tan lejos está el sistema de ser estable / inestable y qué se puede hacer al respecto.

También para aclarar, no hay pantanos que minimicen las frecuencias inestables. Una explicación simple es considerar que la respuesta total es la superposición de las respuestas de todas las frecuencias, por lo que simplemente no hay forma de arreglarla, de la misma manera que no se puede cancelar una sinusoidal de cierta frecuencia con cualquier número de sinusoidales de diferentes frecuencias.

Pero, de nuevo, pensar en términos de frecuencias que hacen que el sistema sea inestable también es incorrecto. Esta inestabilidad no es lo mismo que tener una frecuencia de resonancia infinita, como en un sistema de segundo orden no amortiguado. Es un sistema oscilatorio, pero la inestabilidad de la que estamos hablando es crecer sin límites con ninguna entrada (excepto cero).

Una manera simple de demostrarlo es darse cuenta de que un sistema inestable tendrá polos en el RHS del plano s, y que:

Por lo tanto, no hay forma de que pueda cancelar un polo en la función de transferencia que lo multiplica. La salida seguirá creciendo sin límites.

La respuesta oscilatoria solo entra en juego si la fase es mala en el cruce por cero de la ganancia. Este bucle es condicionalmente estable porque si algún factor reduce la ganancia (haciendo que se cruce antes), podría cruzar en esa área de 2 kHz donde la fase es peligrosa y crear la respuesta oscilatoria.

Para que este bucle sea incondicionalmente estable, tendría que haber un impulso de fase para mover esa sección de 2 kHz fuera de la zona de peligro, o la ganancia tendría que cruzarse a una frecuencia mucho más baja (en el área antes de que la fase se bloquee).