¿Está mal el libro sobre el Criterio de muestreo de Nyquist?

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¿Es incorrecta la siguiente declaración de un libro?

ingrese la descripción de la imagen aquí

Pensé que el muestreo con el doble del componente de frecuencia más alta de la señal sería adecuado para recuperar completamente la señal. Pero arriba dice que el muestreo dos veces crea una onda como un diente de sierra. ¿Está mal el libro?

atmnt
fuente
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Para recuperar completamente la señal es su frase clave. Nyquist no dice que pueda conectar las muestras con una línea recta y obtener la señal original, sino que la información necesaria para recuperar la señal está ahí. Entonces, el libro tiene razón acerca de cómo se ve la señal cuando conecta los puntos, y Nyquist tiene razón acerca de lo que puede recuperar de las muestras.
John D
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Técnicamente, una frecuencia de muestreo de exactamente 2x la entrada no permite reconstruir la señal original, a menos que de alguna manera también sepa que está muestreando en los picos / valles. Solo se necesita un poco más rápido en teoría (y significativamente más rápido en la práctica).
Justin
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Nyquist menciona específicamente que la señal es de banda limitada. A menudo se menciona la limitación de banda de la entrada, pero a menudo no se menciona la limitación de banda de la salida. Si limita la onda triangular a su señal original, obtendrá una onda sinusoidal de regreso.
vini_i
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Si cuenta los pequeños puntos que denotan el muestreo, la frecuencia de muestreo está desactivada por un factor de dos en cada uno de esos diagramas: el muestreo está en 2x, 4x y 8x, respectivamente.
TimWescott
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@ sidA30 El procedimiento correcto es esperar hasta que tenga tiempo para escribir una respuesta, no solo romper la política a su conveniencia.
tubería

Respuestas:

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Pensé que el muestreo con el doble del componente de frecuencia más alta de la señal sería adecuado para recuperar completamente la señal. Pero arriba dice que el muestreo dos veces crea una onda como un diente de sierra. ¿Está mal el libro?

El libro está equivocado, pero no por la razón que piensas. Si entrecierra los ojos para indicar los puntos que indican las muestras, está muestreando al doble de la frecuencia que dice.

Entonces, primero, debe dibujar algunas señales y probarlas usted mismo (o usar un paquete de matemáticas, si no tiene lápiz y papel).

En segundo lugar, el teorema de Nyquist dice que es teóricamente posible reconstruir una señal si ya sabe que el espectro del contenido de la señal es estrictamente inferior a la mitad de la frecuencia de muestreo.

Reconstruye la señal filtrándola en paso bajo. Antes de filtrar, la señal puede distorsionarse, por lo que debe saber lo que está viendo para ver si el resultado puede verse bien. Además, cuanto más cerca esté el espectro de su contenido de señal al límite de Nyquist, más preciso debe ser el límite en sus filtros anti-alias y de reconstrucción. Esto está bien en teoría, pero en la práctica la respuesta de un filtro en el dominio del tiempo se alarga más o menos en proporción a la brusca transición de su banda de paso a su banda de detención. Por lo tanto, en general, si puede, puede probar muy por encima de Nyquist.

Aquí hay una imagen que va con lo que su libro debería haber dicho.

Caso A: una muestra por ciclo (muestras obvias)

Caso B: dos muestras por ciclo, aterrizando en las intersecciones; tenga en cuenta que esta es la misma salida que una muestra por caso de ciclo, pero solo porque probé la primera en las intersecciones.

Caso C: De nuevo, dos muestras por ciclo, pero esta vez en los extremos. Si muestreas exactamente al doble de la frecuencia del componente de señal, entonces no puedes reconstruir. En teoría, podría muestrear un poco más bajo, pero necesitaría un filtro con una respuesta de impulso que abarque lo suficiente del resultado para que pueda reconstruir.

Caso D: Muestreo a 4 veces la frecuencia de la señal. Si conecta los puntos, obtiene una onda triangular, pero no es correcto hacerlo: en el tiempo de muestreo, las muestras solo existen "en los puntos". Tenga en cuenta que si coloca esto a través de un filtro de reconstrucción decente, obtendrá una onda sinusoidal de regreso, y si cambia la fase de su muestreo, la salida se desplazará igualmente en fase, pero su amplitud no cambiará.

muestreo corregido

TimWescott
fuente
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@ThePhoton Cuento 2, 4, 8 muestras por ciclo.
jpa
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Como una adición a lo que dice teóricamente el teorema de Nyquist, también supone que tiene un período de datos infinitamente largo para muestrear. En el ejemplo de "diente de sierra", el libro hace trampa al dibujar una señal que tiene componentes de frecuencia más alta. Si tuviera una serie infinita de esos patrones alto / bajo / alto / bajo, la única señal que puede generar para siempre sin un componente de frecuencia más alta será la onda sinusoidal.
Cort Ammon - Restablece a Monica
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¿Quiso decir que deberíamos probar más arriba de Nyquist?
Ronan Paixão
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@ThePhoton Si observa más de cerca la señal de origen, puede ver puntos muy débiles, esto hace que sea 2 4 8, es posible que tenga que acercarse más o más a su monitor para ver todos los puntos en la última señal
Ferrybig
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@ RonanPaixão Sí, en general desea muestrear por encima de la tasa de Nyquist. Existe una compensación: el muestreo rápido es costoso en términos de hardware de adquisición y almacenamiento de memoria, pero a medida que se muestre más lentamente, los filtros de suavizado y reconstrucción necesarios se vuelven más caros. Entonces, te das cuenta, piensas y haces grandes hojas de cálculo y luego decides, y cinco años después, la tecnología ha avanzado hasta el punto de que tu "mejor" solución parece irremediablemente incorrecta.
TimWescott
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La imagen B está extremadamente equivocada. Contiene esquinas muy afiladas en la señal de salida. Las esquinas muy afiladas equivalen a frecuencias muy altas, mucho más altas que la frecuencia de muestreo.

Para cumplir con los teoremas de muestra de Nyquist, debe filtrar el paso bajo de la señal reconstruida. Después del filtrado de paso bajo, la señal B se vería como la señal de entrada, no como un triángulo (ya que todas las esquinas agudas no pueden pasar el filtro de paso bajo).

Para ser exactos, debe pasar por bajo tanto la señal de entrada como la señal de salida. La señal de entrada debe ser de paso bajo filtrada a la mitad de la frecuencia de la muestra para no "doblar" frecuencias más altas.

Lamentablemente, es una tergiversación común de cómo funciona el muestreo. Una descripción más correcta utilizará la función sinc para la reconstrucción (recomiendo una búsqueda de la función sinc).

En aplicaciones del mundo real es imposible tener un filtro de paso bajo "perfecto" (pasando todas las frecuencias por debajo y bloqueando todo por encima). Esto significa que normalmente tomaría muestras con una frecuencia de al menos 2,2 veces la frecuencia máxima que desea reproducir (ejemplo: calidad de CD muestreada a 44,1 kHz para permitir una frecuencia máxima de 20 kHz). Incluso esta diferencia dificultaría la creación de filtros analógicos: la mayoría de las aplicaciones del mundo real "sobremuestran" al igual que el filtro de paso bajo, en parte en el área digital.

ghellquist
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Para ser justos, está interpretando los gráficos de una manera diferente a la que se presentan: no se afirma que sean una "reconstrucción", solo que son la salida digitalizada del ADC. Conectar los puntos con líneas es una tentación y característica común de los sistemas que representan mínimamente los datos sin intentar interpretarlos .
Chris Stratton
1
Estoy de acuerdo con la tentación. A menudo, aunque lo veo representado como pasos, la mayoría de los programas de software muestran escaleras cuando se acercan. El problema es cuando las personas comienzan a interpretar las líneas (o escaleras) como el verdadero significado de la señal muestreada. Muy a menudo, las muestras se reproducirán más tarde.
ghellquist
La pregunta muestra claramente la entrada de monofrecuencia. El alias no es el punto de la pregunta.
Scott Seidman
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El teorema de muestreo establece que la señal puede reconstruirse perfectamente si la frecuencia de muestreo es estrictamente mayor que el contenido de frecuencia más alta en la señal. Pero esa reconstrucción se basa en la inserción de pulsos sinc (infinitos) en cada muestra. Desde un punto de vista teórico, este es un resultado muy importante, pero en la práctica imposible de lograr exactamente. Lo que se describe en la página del libro es un método de reconstrucción basado en dibujar líneas rectas entre las muestras, que es algo completamente diferente. Entonces, diría que el libro es correcto, pero no tiene nada que ver con el teorema del muestreo.

StefanH
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No del todo, "estrictamente mayor que el doble del ANCHO DE BANDA" es la formulación habitual, y la diferencia es importante (esta es la razón por la cual el submuestreo como un medio para reducir la frecuencia de RF funciona).
Dan Mills
Sí, pero para explicar el teorema de muestreo con respecto a la pregunta, aún elegiría la frecuencia más alta. La pregunta es sobre el muestreo de un seno puro, y luego puede ser confuso introducir el ancho de banda.
StefanH
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Un muy buen documento general es Unser: Muestreo - 50 años después de Shannon . Su problema surge del hecho de que las señales sinusoidales puras e infinitas no están cubiertas por el teorema de muestreo de Shannon. El teorema aplicable para señales periódicas es el teorema de muestreo de Nyquist anterior.


El teorema de muestreo de Shannon se aplica a funciones que se pueden representar como

X(t)=-WWX(F)miyo2πFtreF

donde X es una función de integración cuadrada. Entonces esta señal puede representarse exactamente a partir de muestras discretas como

X(t)=k=-X(kT2)pecado(πW(t-kT2))πW(t-kT2)

T=1W1t

Una función seno pura no está contenida en esa clase, ya que su transformada de Fourier está compuesta de distribuciones Dirac-delta.


El teorema de muestreo de Nyquist anterior establece (o reinterpreta una idea anterior) que si la señal es periódica con el período T y la frecuencia más alta W = N / T , entonces es un polinomio trigonométrico

X(t)=norte=-nortenorteXnortemiyo2πnorteTt

con coeficientes 2N + 1 (no triviales) y estos coeficientes se pueden reconstruir (por álgebra lineal) a partir de muestras 2N + 1 en el período.

El caso de una función seno pura cae en esta clase. Promete una reconstrucción perfecta si se toman muestras 2N + 1 durante un tiempo NT .

Lutz Lehmann
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Lo que se ha compartido del libro no dice nada sobre el "Criterio de muestreo de Nyquist": solo se trata de muestrear por puntos una onda sinusoidal con un ADC hipotético y luego (implícitamente) construir una señal de salida utilizando un (no mencionado) DAC simple que realiza una interpolación lineal entre los valores de la muestra.

Dado ese contexto, la declaración de tesis de 'FIGURA 6.10' es generalmente correcta y está bien demostrada.

A medida que aumenta la frecuencia de muestreo del ADC, mejora la fidelidad de la señal digitalizada.

Si quisieras hablar sobre la fidelidad de una reconstrucción idealizada , ese es un asunto completamente diferente. Cualquier discusión sobre la tasa de Nyquist implica el uso de interpolación sinc que, de nuevo, no se menciona en la figura mostrada.


El verdadero defecto de esta figura es la idea de que una muestra puntual es un concepto significativo en ingeniería. En términos prácticos, un ADC se conectará a un componente sensor que funciona acumulando una señal de entrada del mundo real durante un período de tiempo.


Sin embargo, es curioso que esa cifra aparentemente esté equivocada (apagada por un factor de dos) sobre las frecuencias de muestreo específicas que se muestran en los diagramas, aunque la "Salida" que se muestra solo se ve afectada por esto en el caso 'C'.


Usando la declaración citada arriba, encontré un diagrama inquietantemente similar en "Un enfoque práctico para el monitoreo intraoperatorio neurofisiológico" en una discusión sobre el procesamiento de la forma de onda EEG. Para lo que vale, esa discusión incluye lo siguiente:

El teorema que describe la frecuencia de muestreo mínima requerida para que un ADC represente fielmente una señal analógica se conoce como el teorema de Nyquist. Establece que la frecuencia de muestreo de un ADC debe ser mayor que el doble del componente de frecuencia más rápido de una forma de onda.

sin bar
fuente
... algún período de tiempo y / o espacio, al traducir fenómenos físicos a muestras digitales. Crudamente, siempre habrá un filtro de paso bajo inherente.
nobar
Algo que acabo de encontrar que aborda el filtro de paso bajo inherente: engadget.com/2019/05/04/…
nobar
Un punto al que estoy llegando es que una reconstrucción perfecta de una señal física es básicamente imposible (en el caso general), y que una mejor reconstrucción posible debe tener en cuenta el filtrado de paso bajo efectivo que es inherente a lo físico a lo digital conversión.
nobar
Este video (compartido en los comentarios de la pregunta) pierde algo de credibilidad a las 8:17 cuando dice que los píxeles de imágenes 2D son "conceptualmente, puntos infinitamente pequeños". Ignora muchos detalles sobre cómo se capturan realmente las muestras de imágenes y qué información representan.
nobar
... Aunque es cierto que las muestras de píxeles digitales se capturan y almacenan como valores discretos en su representación del tiempo / espacio, eso no significa que sean "puntos infinitamente pequeños".
nobar