¿Por qué los números de la serie E son diferentes de las potencias de 10?

Los números de la serie E son los valores comunes utilizados en resistencias. Por ejemplo, los valores E6 son:

• 1.0
• 1,5
• 2.2 2.2
• 3,3
• 4.7
• 6.8

Como puede ver, cada uno tiene una separación de . Pero me pregunto por qué no son los poderes de redondeados a 2 cifras significativas. 10$10^\frac16$$10^\frac16$

• $10^\frac16 \approx 1.4678$
• $10^\frac26 \approx 2.1544$
• $10^\frac36 \approx 3.1623$
• $10^\frac46 \approx 4.6416$
• $10^\frac56 \approx 6.8129$

3.1623 no debería redondear a 3.3 sin importar el redondeo hacia arriba o hacia abajo. Y al redondear al número más cercano, 4.6416 se redondea a 4.6.

Lo mismo sucede en otros valores de la serie E. Por ejemplo, los poderes de redondeados a 2 cifras significativas son:$10^\frac{1}{12}$

• $10^\frac{0}{12} \approx 1.0$
• $10^\frac{1}{12} \approx 1.2$
• $10^\frac{2}{12} \approx 1.5$
• $10^\frac{3}{12} \approx 1.8$
• $10^\frac{4}{12} \approx 2.2$
• $10^\frac{5}{12} \approx 2.6$
• $10^\frac{6}{12} \approx 3.2$
• $10^\frac{7}{12} \approx 3.8$
• $10^\frac{8}{12} \approx 4.6$
• $10^\frac{9}{12} \approx 5.6$
• $10^\frac{10}{12} \approx 6.8$
• $10^\frac{11}{12} \approx 8.3$

Mientras que los valores E12 son:

• 1.0
• 1,2
• 1,5
• 1,8
• 2.2 2.2
• 2.7
• 3,3
• 3.9
• 4.7
• 5.6
• 6.8
• 8.2

Los números 2.7, 3.3, 3.9, 4.7 y 8.2 de E12 son diferentes de los correspondientes calculados anteriormente.

Entonces, ¿por qué la serie E de números preferidos es diferente de las potencias de 10 redondeadas al número más cercano?

Realmente disfruté tu pregunta y definitivamente la subí. Su pregunta me hizo pensar y leer un poco más sobre el tema. Y realmente aprecio lo que aprendí del proceso y que me estimulaste. ¡Gracias!

Contexto histórico

No voy a volver a los días de Babilonia aquí. (Probablemente, todo el concepto se remonta mucho más allá). Pero comenzaré hace aproximadamente un siglo.

Charles Renard propuso algunas formas específicas de organizar números para dividir intervalos (decimales). Se centró en dividir un rango de década en 5, 10, 20 y 40 pasos, donde el logaritmo de cada valor de paso formaría una serie aritmética. Y estos se conocieron como R5, R10, R20 y R40. Por supuesto, hay muchas otras elecciones que uno podría hacer. Pero esos eran suyos, en ese momento.

$10\cdot 10^\frac{0}{20}\approx 10$$10\cdot 10^\frac{3}{20}\approx 14$$10\cdot 10^\frac{6}{20}\approx 20$$10\cdot 10^\frac{9}{20}\approx 28$$10\cdot 10^\frac{12}{20}\approx 40$$10\cdot 10^\frac{15}{20}\approx 56$$10\cdot 10^\frac{18}{20}\approx 79$$10$$40$

Si desea leer más, lo anterior y mucho más se pueden encontrar en una publicación llamada NBS Technical Note 990 (1978) . (La Oficina Nacional de Normas [NBS] ahora es NIST).

Mientras tanto, después de la Segunda Guerra Mundial, hubo un fuerte impulso hacia la estandarización de las piezas fabricadas. Así que varios grupos, en varios momentos, trabajaron bastante duro para "racionalizar" los valores estándar para ayudar a la fabricación, la instrumentación, la cantidad de dientes en los engranajes y ... bueno, casi todo.

Lea la Serie E de Números Preferidos y tome nota de los documentos asociados y su historial. Sin embargo, los documentos mencionados en esa página de Wikipedia no cubren cómo se eligieron esos números preferidos. Para eso, hay "ISO 497: 1973, Guía para la elección de series de números preferidos y de series que contienen valores más redondeados de números preferidos". y también "ISO 17: 1973, Guía para el uso de números preferidos y de series de números preferidos". No tengo acceso a esos documentos, por lo que no pude leerlos a pesar de que, en particular, ISO 497: 1973 parecía un buen lugar para ir.

Serie E (Geométrica)

Todavía no he encontrado ningún detalle sobre el algoritmo preciso aplicado hace algunas décadas para la pregunta que hizo. La idea de "racionalizar números" no es una idea difícil, pero el proceso exacto que se aplicó va mucho más allá de mi capacidad para estar seguro de la ingeniería inversa ahora. Y no pude descubrir un documento histórico que lo revelara. Algunos de los elementos solo pueden sacarse a la luz al poseer los documentos completos relacionados con sus elecciones finales. Y aún no he encontrado esos documentos. Pero estoy seguro de que pude resolver cuál debe haber sido su proceso para la cuestión de la resistencia.

Una de las cosas mencionadas en NBS Pub. 990, es el hecho de que las diferencias y sumas de números preferidos no deben, ellos mismos, ser números preferidos. Esto es en un intento de proporcionar cobertura para otros valores en el rango de la década cuando los valores explícitos no satisfacen una necesidad (mediante el uso de dos valores en un acuerdo de suma o diferencia).

Tenga en cuenta que esta pregunta de cobertura es más importante para series como E3 y E6 y casi no es tan importante para E24, por ejemplo, que contiene directamente muchos valores intermedios. Con eso, en mente, lo siguiente es mi pensamiento sobre su pensamiento. Quizás no se alejará demasiado del razonamiento real de su proceso de "racionalizar" valores y tomar una decisión final sobre los valores preferidos que finalmente eligieron usar.

Mi razonamiento

Hay una hoja muy bonita y simple para ver lo que resume los valores de la serie E para resistencias: Vishay E-Series .

Aquí está mi imagen de los valores de la serie E de dos dígitos que también incluye los valores calculados:

Aquí está mi proceso, dado lo anterior, que creo que puede ser al menos similar al razonamiento utilizado hace muchos años:

1. La idea de cobertura es más crucial para E3 y menos crucial para E24. Un vistazo rápido a E3 sugiere un problema con los valores redondeados de 10, 22 y 46. Todos son números pares y no hay forma posible de componer números impares usando solo números pares. Entonces uno de estos números debe cambiar. No pueden cambiar 10. Y para cambiar una, las únicas dos posibilidades restantes son: (1) 10, 22, 47; o (2) 10, 23, 46. Pero la opción (2) tiene un problema: la diferencia entre 46 y 23 es 23, que es un número en la secuencia. Y esa es una razón suficiente para eliminar la opción (2). Esto deja solo la opción (1) 10, 22 y [47]. Entonces esto determina E3. (Usaré [] para rodear los valores de secuencia modificados y <> para rodear los valores que deben preservarse de la secuencia anterior).
2. Para E6, debe preservar las opciones de valor de E3, insertando sus propios valores intermedios. Nominalmente, E6 es entonces <10>, 15, <22>, 32, [47] y 68. Sin embargo, la diferencia entre 32 y 22 es 10 y este es uno de los valores que ya están en la secuencia. Además, 47 menos 32 es 15. Nuevamente, 32 está involucrado en una situación problemática. Ni 22 ni 47 se pueden cambiar (se heredan). Por lo tanto, la opción obvia (y única) es ajustar la secuencia E6 a <10>, 15, <22>, [33], [47] y 68. Los valores de diferencia y suma ahora también proporcionan cobertura .
3. Para E12, debe preservar las opciones de valor de E6, insertando sus propios valores. Nominalmente, E12 es entonces <10>, 12, <15>, 18, <22>, 26, [33], 38, [47], 56, <68> y 83. El número 83 ya tiene un problema, desde 83 menos 68 es 15 y eso ya está en la secuencia. 82 es la alternativa más cercana. Además, el lapso entre 22 y 26 es 4, mientras que el lapso entre 26 y 33 es 7. Los tramos deberían, en términos generales, aumentar monotónicamente. Esta situación es grave y la única opción es ajustar 26 a la siguiente opción más cercana, 27. La secuencia ahora es <10>, 12, <15>, 18, <22>, [27], [33], 38, [47], 56, <68> y [82]. Pero nuevamente tenemos un problema con 38, con un lapso anterior de 5 y un lapso siguiente de 9. Nuevamente, la única solución para esto es ajustar 38 a su siguiente opción más cercana, 39.
4. E24 pasa por un proceso similar. Comienza, nominalmente, como: <10>, 11, <12>, 13, <15>, 16, <18>, 20, <22>, 24, [27], 29, [33], 35, [39], 42, [47], 51, <56>, 62, <68>, 75, [82] y 91. Creo que ahora, puede aplicar la lógica que he aplicado anteriormente y obtener el resultado final secuencia de (sin soltar el <> pero dejando el indicador []): 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, [27], [30], [33], [36 ], [39], [43], [47], 51, 56, 62, 68, 75, [82] y 91.

Creo que estará de acuerdo en que este proceso es racional y conduce directamente a lo que vemos hoy.

(No analicé la lógica aplicada a todos los valores de la serie E de 3 dígitos: E48, E96 y E192. Pero creo que ya hay suficiente arriba y creo que funcionará de manera similar. Si encuentra algo diferente , También me alegrará revisarlo.)

El proceso de racionalización final, hacia los números preferidos, se ve así:

Arriba, puede ver los pasos involucrados y dónde se realizan los cambios y cómo se llevan a cabo (leyendo de derecha a izquierda, por supuesto).

Notas

• La suma o diferencia de los números preferidos tiende a evitar ser un número preferido, siempre que sea posible. Esto es necesario para proporcionar la mayor cobertura posible.
• El producto, o cociente, o cualquier potencia positiva o negativa integral de números preferidos será un número preferido.
• Cuadrar un número preferido en la serie E12 produce un valor en la serie E6. Del mismo modo, elevar al cuadrado un número preferido en la serie E24 produce un valor en la serie E12. Etc.
• Tomar la raíz cuadrada de un número preferido en la serie E12 produce un valor intermedio en la serie E24 que no está presente en la serie E12. Del mismo modo, sacar la raíz cuadrada de un número preferido en la serie E6 produce un valor intermedio en la serie E12 que no está presente en la serie E6. Etc.

Lo anterior es exactamente cierto cuando se usan los valores teóricos en lugar de los valores preferidos. (Los valores preferidos se han ajustado, por lo que habrá alguna desviación debido a ese hecho, utilizando valores preferidos en lugar de los valores exactos).

Una pregunta interesante que me hizo profundizar y aprender algo de la historia de los problemas y el razonamiento detrás de los números preferidos que no había entendido tan completamente antes.

¡Así que gracias!