Análisis de filtro de muesca activa Twin-T

¿Podría alguien darme una pista para analizar el filtro de muesca activa Twin-T? Intenté una transformación delta-estrella, seguida de un análisis nodal, pero terminé con ecuaciones conflictivas. Por ejemplo, mire la Figura 1 de la nota de aplicación de Texas Instruments " Una colección de circuitos de audio, parte 2 ":

En el ejemplo más general que estoy estudiando, elimino C4 / C5 y R6 / R7 (y ese Vcc) y trato los componentes T pasivos como conductancias coincidentes de la siguiente manera:

R1 y R2 se convierten en Y1, R3 se convierte en 2Y1, C1 y C2 se convierten en Y2, C3 se convierte en divisor de voltaje genérico 2Y2, R4 y R5 con resistencias R1 y R2

La transformación Delta-Star se puede utilizar para analizar la red Twin-T mediante el siguiente procedimiento:

1. Las dos redes T se pueden convertir en redes gemelas Delta en paralelo:
2. Condensar estas dos redes Delta en una sola red Delta

3. Convierta la red Delta resultante nuevamente en una red T.

4. Para ver el comportamiento de la muesca del gemelo T pasivo, suponga que el nodo 2 está conectado a tierra y trate la red Delta que obtuvo en el paso 3 como un divisor de voltaje.

   $$H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$$

5. $$v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$$ $$H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$$ $$G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$$ $\alpha=0$$G(s)=H(s)$$\alpha=1$

$\alpha$

El álgebra de las diversas transformaciones es un poco tedioso. Usé Mathematica para hacerlo:

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

Aquí hay una manera de hacerlo: el filtro de muesca con retroalimentación es un poco más complicado, por lo que por el momento solo describiré cómo hacer la forma general del filtro de muesca doble T:

Para resolver el circuito utilizando un análisis nodal, lo que debe hacer es convertir la fuente de voltaje Vin en su fuente Norton equivalente; sin embargo, es un poco complicado porque debe convertir Vin en dos fuentes Norton para tener en cuenta R1 y C1 y luego reorganizar el circuito para compensar . Me gusta esto:

Los puntos 1, 2 y 3 se muestran en sus nuevas posiciones en el circuito equivalente. Entonces debería poder escribir ecuaciones KCL mediante inspección y crear una matriz aumentada de 3 por 3 en las incógnitas V1, V2 y V3. Luego puede resolver V2 / Vo en términos de Vin utilizando la regla de Cramer.

$Vo*\alpha$

Editar: primer diagrama corregido