Los filtros de paso bajo Butterworth, Bessel, Chebychev y sinc se usan en varios casos en los que existen diferentes compensaciones entre tener una respuesta de frecuencia decreciente uniforme, una respuesta de fase uniforme, un corte abrupto o una respuesta de "pared de ladrillos". Creo que todos estos filtros pueden, en algunos casos, tener un exceso en su respuesta escalonada, lo que significa que su respuesta al impulso es negativa en algunos lugares.
¿Cuál sería la respuesta de frecuencia óptima, o qué tipos de respuestas de frecuencia estarían disponibles, en un filtro cuya única restricción era que la respuesta de impulso no podía ser negativa en ningún lugar? Ciertamente, es posible tener un filtro de paso bajo que cumpla dicha restricción, ya que un filtro RC básico lo hará (aunque la respuesta de dicho filtro es un poco desagradable). ¿La respuesta de impulso óptima sería una curva de distribución normal o algo más?
Respuestas:
Voy a listar un montón de "filtros que no se sobrepasan". Espero que encuentre esta respuesta parcial mejor que ninguna respuesta. Esperemos que las personas que buscan "un filtro que no se sobrepase" encuentren útil esta lista de dichos filtros. Quizás uno de estos filtros funcionará adecuadamente en su aplicación, incluso si todavía no hemos encontrado el filtro matemáticamente óptimo.
filtros causales LTI de primer y segundo orden
La respuesta escalonada de un filtro de primer orden ("filtro RC") nunca se sobrepasa.
La respuesta escalonada de un filtro de segundo orden ("biquad") puede diseñarse de manera que nunca se sobrepase. Hay varias formas equivalentes de describir esta clase de filtro de segundo orden que no se sobrepasa en una entrada de paso:
En particular, una topología de filtro Sallen-Key de ganancia unitaria con condensadores iguales y resistencias iguales está amortiguada críticamente: Q = 1/2, y por lo tanto no se sobrepasa en una entrada escalonada.
Un filtro de Bessel de segundo orden está ligeramente amortiguado: Q = 1 / sqrt (3), por lo que tiene un pequeño exceso.
Un filtro Butterworth de segundo orden está más amortiguado: Q = 1 / sqrt (2), por lo que tiene más sobreimpulso.
De todos los posibles filtros LTI de primer orden y de segundo orden que son causales y no se sobrepasan, el que tiene la "mejor" (más pronunciada) respuesta de frecuencia son los filtros de segundo orden "críticamente amortiguados".
filtros causales LTI de orden superior
El filtro causal de orden superior de uso más común que tiene una respuesta de impulso que nunca es negativa (y por lo tanto nunca se sobrepasa en una entrada de paso) es el " filtro de promedio móvil ", también llamado "filtro de vagón" o " filtro de promedio móvil ".
A algunas personas les gusta ejecutar datos a través de un filtro de furgón y la salida de ese filtro a otro filtro de furgón. Después de algunos de estos filtros, el resultado es una buena aproximación del filtro gaussiano. (Cuantos más filtros conecte en cascada, más se acercará la salida final a un gaussiano, sin importar con qué filtro comience (vagón, triángulo, RC de primer orden o cualquier otro) debido al teorema del límite central).
Prácticamente todas las funciones de ventana tienen una respuesta de impulso que nunca es negativa, por lo que, en principio, se pueden usar como filtros FIR que nunca se sobrepasan en una entrada escalonada. En particular, escucho cosas buenas sobre la ventana de Lanczos , que es el lóbulo central (positivo) de la función sinc () (y cero fuera de ese lóbulo). Algunos filtros de forma de pulso tienen una respuesta de impulso que nunca es negativa, por lo que pueden usarse como filtros que nunca se sobrepasan en una entrada de paso.
No sé cuál de estos filtros es el mejor para su aplicación, y sospecho que el filtro matemáticamente óptimo puede ser un poco mejor que cualquiera de ellos.
filtros causales no lineales
El filtro mediano es un filtro no lineal popular que nunca se sobrepasa en una entrada de función escalonada.
EDITAR: filtros no causales LTI
La función sech (t) = 2 / (e ^ (- t) + e ^ t) es su propia transformada de Fourier, y supongo que podría usarse como un tipo de filtro LTI de paso bajo no causal que nunca se sobrepasa en un paso de entrada.
El filtro LTI no causal que tiene la respuesta de impulso (sinc (t / k)) ^ 2 tiene una respuesta de frecuencia "abs (k) * triángulo (k * w)". Cuando se le da un paso de entrada, tiene mucha ondulación en el dominio del tiempo, pero nunca sobrepasa el punto de asentamiento final. Por encima de la esquina de alta frecuencia de ese triángulo, ofrece un rechazo perfecto de la banda de detención (atenuación infinita). Entonces, en la región de banda de detención, tiene una mejor respuesta de frecuencia que un filtro gaussiano.
Por lo tanto, dudo que el filtro gaussiano proporcione la "respuesta de frecuencia óptima".
En el conjunto de todos los posibles "filtros que no se sobrepasan", sospecho que no hay una sola "respuesta de frecuencia óptima": algunos tienen un mejor rechazo de banda de detención, mientras que otros tienen bandas de transición más estrechas, etc.
fuente
La mayoría de los filtros utilizados en el mundo digital son solo versiones muestreadas de la contraparte analógica. Una razón importante para esto es que hubo mucho trabajo realizado en el filtrado analógico antes de que apareciera el digital, por lo que en lugar de reinventar la rueda, la mayoría solo usaba diseños anteriores. Sin embargo, la ventaja de lo digital es que se puede lograr un filtro de orden superior mucho más fácil que en el mundo analógico. Solo imagine un circuito complejo cada vez que agrega otro orden al diseño.
Si está buscando un filtro de tipo de pared de ladrillo, la curva gaussiana es un buen lugar para comenzar. Si conoce el dominio de tiempo <-> dominio de frecuencia; un gaussiano se transforma en un gaussiano en el otro dominio. A medida que se enrolla en uno, se estrecha en el otro. Entonces, para obtener un pico perfecto en el dominio de frecuencia, necesitaría una cantidad infinita de muestras.
Si tiene Matlab disponible para su uso, debe consultar algunas de las herramientas de diseño de filtro incorporadas. Aquí hay un enlace que habla sobre Butterworth y Bessel . Las herramientas de diseño le permiten especificar ciertos aspectos del filtro. Estos aspectos cambian para cada tipo de filtro, pero algunos ejemplos son Passband, stopband, ripple, etc. Si le da al diseñador las restricciones que desea, le dará un error (lo que significa que no puede hacer ese filtro con ese tipo de filtro). ) o le dará un filtro con el pedido mínimo requerido para cumplir con las especificaciones.
fuente