Fourier vs. Laplace

Supongamos que tengo una red RLC en una caja negra, y lo golpeo duro en el laboratorio para obtener la respuesta al impulso. Ahora tengo dos opciones, puedo tomar la transformada de Fourier o la transformada de Laplace para obtener la respuesta de frecuencia. ¿Cómo sé cuál elegir y cuál es la diferencia física entre cada uno?

Me han dicho que la transformada de Laplace también le da la respuesta transitoria o la decadencia, mientras que la transformada de Fourier no. ¿Es esto cierto? Si de repente aplico una señal sinusoidal en la entrada, entonces debería haber una respuesta transitoria durante un breve período de tiempo en el que la salida no sea sinusoidal hasta que el sistema se estabilice. ¿Puede alguien darme un ejemplo práctico en términos de una red RLC para mostrar cómo esto es cierto?

Además, a menudo en la clase de circuitos, tomamos la transformada de Laplace de un circuito donde la parte real de $s = \sigma + j\omega$ se supone que es cero de todos modos, así que cuando usamos $\frac{1}{Cs}$ para denotar la transformada de Laplace del condensador, se supone que esto es equivalente a $\frac{1}{j\omega C}$. Creo que la parte real es cero, ya que la corriente a través del condensador está desfasada 90 grados con el voltaje, ¿es esto correcto? Pensé que la transformación de Fourier era lo mismo que la transformación de Laplace con$\sigma = 0$. Sin embargo, eso no parece ser cierto, considere$x(t) = u(t)$:

Podemos ver que incluso si sustituyo $s = j \omega$sin una parte real en la salida de la transformación de Laplace, todavía no son iguales. ¿Cómo es que la transformada de Fourier tiene un componente de impulso adicional pero Laplace no? Cuando puedo sustituir$s = j\omega$ y esperar que la transformada de Fourier sea igual a la transformada de Laplace?

Editar: la última parte de mi pregunta tiene respuestas aquí y aquí .

Las transformadas de Fourier y Laplace no son lo mismo. En primer lugar, tenga en cuenta que cuando hablamos de la transformación de Laplace, a menudo nos referimos a la transformación de Laplace unilateral, donde las integrales de transformación comienzan en$t=0$ (y no en $t=-\infty$), es decir, con la transformada de Laplace generalmente analizamos señales y sistemas causales. Con la transformación de Fourier, este no es siempre el caso.

Para comprender las diferencias entre los dos, es importante observar la región de convergencia (ROC) de la transformada de Laplace. Para señales causales, el ROC es siempre un plano de la mitad derecha, es decir, no hay polos (de una función racional en$s$) a la derecha de algún valor $\sigma_0$ (dónde $\sigma$ denota la parte real de la variable compleja $s$) Ahora si$\sigma_0<0$, es decir, si el $j\omega$ eje está dentro del ROC, entonces simplemente obtienes la transformación de Fourier configurando $s=j\omega$. Si$\sigma_0>0$entonces la transformación de Fourier no existe (porque el sistema correspondiente es inestable). El tercer caso ($\sigma_0=0$) es interesante porque aquí existe la transformación de Fourier pero no se puede obtener de la transformación de Laplace estableciendo $s=j\omega$. Tu ejemplo es de este tipo. La transformada de Laplace de la función de paso tiene un polo en$s=0$, que se encuentra en el $j\omega$eje. En todos estos casos, la transformada de Fourier tiene adicional$\delta$ impulsos en las ubicaciones de los polos en el $j\omega$ eje.

Tenga en cuenta que no es cierto que la transformación de Fourier no pueda tratar con transitorios. Esto es solo un malentendido que probablemente proviene del hecho de que a menudo usamos la transformada de Fourier para analizar el comportamiento de estado estacionario de los sistemas mediante la aplicación de señales de entrada sinusoidales que se definen para$-\infty<t<\infty$. Por favor, vea también esta respuesta a una pregunta similar.

Ok, entonces golpeas una caja negra hecha de componentes RLC y mides la respuesta, la respuesta al impulso. Ahora desea saber la respuesta de frecuencia, es decir, la respuesta a cualquier sinusoidal.

En primer lugar, realmente no puede excitar su sistema con una sinusoidal pura. Es demasiado tarde, deberías haber comenzado en el Big Bang. Lo mejor que puede hacer es usar una sinusoidal causal, que tiene componentes de frecuencia adicionales.

Pero digamos que lo que quiere saber es la respuesta del sistema a una entrada arbitraria en el dominio del tiempo. Realmente no necesitas Fourier o Laplace para saber esto. Una convolución servirá.

¿Qué tienes en la mano, realmente? Mediste la respuesta al impulso. De alguna manera, lo trazó, digamos continuamente, en lugar de un ADC que muestreó la señal, que generalmente es lo que sucede, y en su lugar estaría preguntando sobre la transformación Z frente a FFT. Supongamos también que el golpe que le diste fue un buen delta: fuerte pero corto.

Como su sistema es RLC, es lineal, por lo que los principios de superposición funcionan (de todos modos no estaríamos hablando de esto). Cualquier entrada se puede construir agregando impulsos atenuados compensados ​​en el tiempo (más o menos, es una cosa límite). Entonces, la respuesta total es simplemente agregar todas estas respuestas individuales juntas. Esta adición es exactamente lo que hace la entrada de convolución (t) * impulseResponse (t). Podría considerar el sistema RLC como un "convolucionador de hardware". Esta es probablemente la forma más precisa de predecir una respuesta a una entrada arbitraria.

Ahora quiero aclarar algo, que es cómo Laplace se relaciona con Fourier. Nuestro dominio son las funciones causales, ya que de lo contrario no tiene sentido comparar el Laplace unilateral con Fourier. Además, todas las señales reales son causales. Matemáticamente, la transformada de Laplace es solo la transformada de Fourier de la función pre-multiplicada por un exponencial decadente. Es así de simple. Entonces, si una transformada de Fourier no existe porque las integrales son infinitas, Laplace aún puede existir si el exponencial en descomposición es lo suficientemente fuerte, porque la integración de la función 'atenuada' convergería. Desde un punto de vista matemático, esto puede ser extremadamente útil en ciertos casos.

Pero lo que realmente puede desear es crear un sistema de control para su planta. En ese caso, lo que debe hacer es inspeccionar la respuesta y luego aproximarla con un modelo de primer o segundo orden más un retraso grupal. Por lo tanto, no será exacto, pero al hacer esto, eludirá todos los pequeños detalles de la respuesta real y obtendrá la enorme ventaja de poder conectar este modelo a ecuaciones de control y algoritmos y docenas de conocimientos de teoría de control por valor de libros. y diseñe y simule su sistema de control. En ese caso, usaría un modelo de Laplace, ya que inmediatamente obtendrá polos y ceros que se pueden usar para el análisis de estabilidad.