Calcular la constante Cheeger: ¿factible para qué clases?

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Cálculo de la constante Cheeger de un gráfico , también conocida como la constante de isoperimétrico (porque es esencialmente una relación de área mínima y / o volumen), se sabe que es NP-completo. Generalmente es aproximado. Estoy interesado en saber si se conocen algoritmos polinómicos exactos para clases especiales de gráficos. Por ejemplo, ¿sigue siendo NP-completo para gráficos regulares ? Para gráficos de distancia regular ? (No he estudiado las pruebas de completitud NP existentes para examinar sus supuestos). Apuntes de literatura apreciados, ¡gracias!

ds.algorithms reference-request graph-algorithms Joseph O'Rourke
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Esa es una buena pregunta. ¿Las aproximaciones tienen algo que ver con los métodos de corte más dispersos?

Suresh Venkat

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Sé que esta es una vieja pregunta, pero me preguntaba si alguien sabía de una aproximación de tiempo polinomial para gráficos generales que obtienen la constante dentro de un porcentaje fijo.

yberman 05 de

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Observe que la aproximación del corte más disperso dentro de da una aproximación de para la constante de Cheeger como se define. Aquí hay algunos documentos que ofrecen algoritmos de aproximación constante para el corte más escaso en gráficos restringidos: $\alpha$ $2\alpha$

Género acotado: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1873619
Ancho de árbol acotado: http://arxiv.org/abs/1006.3970

Además, http://arxiv.org/abs/1006.3970v2 demuestra que el corte más escaso es NP-duro para gráficos con ancho de ruta 2, y tiene bastantes referencias más a la aproximación del corte más escaso en instancias restringidas.

Supongo que para todas las clases de gráficos mencionados en el documento, no se conocen algoritmos exactos (ya que están interesados en las aproximaciones). En particular, si el corte más escaso es NP-hard para gráficos con ancho de ruta 2, también es NP-hard para gráficos de treewidth 2 y cutwidth 2. Supongo que eso no da mucho espacio ... tal vez hay otro mejor parametrización para corte más escaso.

Estoy bastante seguro de que el corte más escaso es NP-duro en los gráficos regulares, pero no puedo encontrar una referencia.

Per notó que no tuve cuidado cuando miré los papeles de arriba. El resultado de la dureza es para el corte más escaso no uniforme. Calcular el corte más escaso uniforme o la constante Cheeger es fácil para los árboles (WLOG, el corte óptimo separa un subárbol). Con un poco más de trabajo que proporciona un algoritmo de programación dinámico para calcular la constante Cheeger en gráficos de ancho de árbol acotado.

La Tabla 1 en el documento 2 anterior también menciona un resultado que proporciona una aproximación constante para gráficos con un menor excluido.

Para los gráficos de género acotado, lo mejor que parece conocerse es una aproximación constante (el trabajo 1 anterior da dondees el género. $O(\sqrt{\log g})$ $g$

Sasho Nikolov
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¿No puedes hacer que cualquier gráfico sea regular agregando bucles automáticos?

MCH

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@MCH de esa manera los vértices de grados impares siguen siendo grados impares y los vértices de grados pares siguen siendo grados pares

Sasho Nikolov

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El resultado de dureza que menciona para el ancho de ruta 2 es para el corte más disperso no uniforme , que no es tan relevante para la constante Cheeger. De hecho, hasta donde puedo ver, es fácil calcular el corte uniforme más escaso o la constante de Cheeger exactamente en gráficos de ancho de árbol acotado.

Por Austrin

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Para la solución exacta en gráficos planos, vea Park y Phillips, STOC 93 . Esto es esencialmente para el corte más escaso de las demandas uniformes, con la pequeña diferencia de que su denominador es | S | en lugar de | S | * | VS |. Como señaló Per, el caso de las demandas no uniformes es diferente.

Robert Krauthgamer
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