Golpear ciclos impares

¿Se sabe algo sobre el siguiente problema? ¿Tiene sentido? Como se llama ¿Es trivialmente equivalente a algún otro problema? ¿Cuál es la complejidad del tiempo?

Dado un gráfico G = (V, E) no dirigido (general / planar / acotado / etc.), Encuentre un subconjunto máximo de aristas E ', de modo que G' = (V, E-E ') esté conectado y para cada borde e en E 'hay un ciclo de longitud impar en G que contiene e, que no contiene ningún otro borde en E'. (Solo considero ciclos simples, es decir, ningún vértice aparece dos veces)

Esto parece similar a la bipartización, pero los resultados que he visto allí son sobre el número mínimo de vértices / bordes que deben eliminarse, mientras que quiero el número máximo de bordes que pueden eliminarse.

Por ejemplo, el siguiente gráfico:

  * - * - * 
 /         \
* - * - * - *
 \         /
  * - * - *

Podríamos cortar uno de los bordes en el camino en el medio, eliminando así todos los ciclos impares. Sin embargo, podemos hacerlo mejor eliminando dos bordes, uno en la rama superior y otro en la inferior.

$|E'|$$E'$$E'$