Hay algunos problemas de conteo que implican contar exponencialmente muchas cosas (en relación con el tamaño de la entrada) y, sin embargo, tienen sorprendentes algoritmos deterministas exactos de tiempo polinómico. Ejemplos incluyen:
- Contar combinaciones perfectas en un gráfico plano (el algoritmo FKT ), que es la base de cómo funcionan los algoritmos holográficos .
- Contar árboles de expansión en un gráfico (a través del teorema del árbol de matriz de Kirchhoff ).
Un paso clave en ambos ejemplos es reducir el problema del conteo a calcular el determinante de una matriz determinada. Un determinante es en sí mismo, por supuesto, una suma de muchas cosas exponencialmente, pero sorprendentemente puede calcularse en tiempo polinómico.
Mi pregunta es: ¿existen algoritmos exactos y deterministas "sorprendentemente eficientes" conocidos para contar problemas que no se reduzcan a la computación de un determinante?
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Ashley Montanaro
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Respuestas:
No sé si los siguientes problemas se reducen o no a calcular el determinante, pero enumeraré de todos modos:
2) Contar el número de soluciones de problemas definibles en lógica MSO en estructuras de ancho de árbol acotado. Véase, por ejemplo, el documento que se basa en obras de Courcelle, Arnborg y otros .
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Contando el número de puntos de la red en un politopo racional (cuando la dimensión es constante) en tiempo polinómico , debido a Alexander Barvinok.
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En el marco de Holant, hay varios casos que son manejables (por razones no triviales) que no sean a través de compuertas en gráficos planos.
1) Puertas de Fibonacci
2) Cualquier conjunto de firmas afines .
3) #CSP ponderados no negativos
...para nombrar unos pocos.
Además, el Teorema BEST ofrece un algoritmo de tiempo polinómico para contar el número de circuitos de Eulerian en un gráfico dirigido, aunque parte del algoritmo utiliza un cálculo determinante.
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