¿Es cierto que hay problemas en la jerarquía polinómica que se pueden resolver en el tiempo (por una máquina de Turing alterna en algún nivel de la jerarquía polinómica) que no se pueden resolver en O ( n k - 1 ) en ningún nivel de jerarquía polinómica? En otras palabras, ¿existe un teorema de jerarquía de tiempo para la jerarquía polinómica como existe para P y NP? Si es así, una referencia sería genial.
La dificultad que encontré es que la máquina de simulación, cuando simula máquinas de todos los niveles de la jerarquía, no está en ningún nivel distinto de la jerarquía. Lo que lleva a una pregunta relacionada: ¿cuál es la clase más pequeña a la que pertenece una máquina de simulación? ¿Tiene algún sentido definir una clase con alternancias (u O ( log n ) / O ( log log n ) )?
Respuestas:
Si. Por ejemplo, las pruebas habituales del teorema de la jerarquía temporal (simulando directamente máquinas arbitrarias) se pueden usar para mostrar que por cada , Σ c T I M E [ n k ] no es un subconjunto de Π c T I M E [ n k - 1 ] . La razón para cambiar de Σ a Πc≥1 ΣcTIME[nk] ΠcTIME[nk−1] Σ Π es que, en este argumento de diagonalización, tenemos que hacer el "opuesto" de la máquina que estamos simulando, por lo que debemos ejecutar en modo universal cuando la máquina de simulación está en modo existencial, y viceversa.
También puede obtener un resultado como este sin cambiar de a Π : por cada c ≥ 1 , ΣΣ Π c≥1 no es un subconjunto de Σ c T I M E [ n k - 1 ] . Esto se puede hacer usando la prueba de la jerarquía de tiempo debido a Zak (referencia: "Una jerarquía de tiempo de máquina de Turing", Theoretical Computer Science 26 (3): 327--333, 1983). Para una referencia explícita a esta versión del teorema de la jerarquía del tiempo, verDieter van MelkebeekΣcTIME[nk] ΣcTIME[nk−1] " Una encuesta de límites más bajos para la satisfacción y los problemas relacionados " (disponible en su página de inicio).
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La respuesta a la pregunta revisada (revisión 4 de la pregunta) es no. Si un problema de decisión L es solucionable en el tiempo O ( n k ) por una máquina ∑ i P, entonces L puede resolverse en tiempo lineal por una máquina Turing con el oráculo para L , que es una máquina ∑ i +1 P. Por lo tanto, ∑ i TIEMPO [O ( n k )] ⊆ Σ i +1 TIEMPO [O ( n )].
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