El "nombre del juego de mayor número" le pide a dos jugadores que escriban un número en secreto, y el ganador es la persona que anotó el número mayor. El juego comúnmente permite a los jugadores escribir funciones evaluadas en un punto, por lo que también sería una cosa aceptable para escribir.
El valor de la función Busy Beaver, , no se puede determinar (en ZFC o en cualquier sistema axiomático razonablemente consistente) para valores grandes de . En particular, no puede determinarse según este documento . Sin embargo, esto no significa que no podamos comparar valores de la función Busy Beaver. Por ejemplo, podemos demostrar que es estrictamente monótono .
Supongamos que permitimos a los jugadores escribir expresiones que involucren composiciones de funciones elementales, números naturales y la función Busy Beaver. ¿Hay dos expresiones que los dos jugadores pueden escribir para que podamos probar en ZFC que determinar el ganador en ZFC es imposible (suponiendo que ZFC sea consistente)?
EDITAR: Originalmente esta pregunta decía "... combinaciones arbitrarias de funciones computables, números naturales y la función Busy Beaver".
Si dejamos que tome el valor de si [algo impío grande e inexpresable en este sitio web] y si no lo es, entonces y son incomparables.
Esto no me satisface, en gran parte porque no es una función razonable para que alguien la use en este juego. Sin embargo, no veo cómo expresar mi intuición sobre esto, por lo que he restringido la pregunta para evitar funciones por partes.
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Respuestas:
Cuando dices "indecidible", supongo que quieres decir que es independiente de una teoría como ZFC. Habrá declaraciones como (para números naturales , ) que ZFC no decide, suponiendo que ZFC sea consistente. Porque de lo contrario podríamos calcular la función simplemente buscando pruebas en ZFC de tales declaraciones.
Dado que es Turing completo, hay alguna máquina de Turing con Con (ZFC) acepta con oracle (en la entrada 0, por ejemplo) y Con (ZFC) rechaza.B Φ ⟺ Φ B ¬ ⟺ Φ
Ahora, suponiendo que en realidad Con (ZFC) sea cierto, sabemos que acepta y hay una colección de hechos , que se utilizó en el cálculo (podemos configurarlo de modo que el acceso al oráculo funciona de esta manera). Entonces es falso, pero este hecho no es demostrable en ZFC, de lo contrario ZFC demostraría su propia consistencia. Por supuesto, esto se puede reescribir como y así podría decirse ( *) proporciona una respuesta afirmativa a su pregunta.Φ B(mi)=ni 1≤i≤k
Sin embargo, no creo que podamos averiguar cuáles son estos números , , porque las consultas son adaptativas (lo que se pregunta depende de las respuestas a las preguntas anteriores, y no sabemos esas respuestas).mi ni
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