Lance Fortnow afirmó recientemente que probar L! = NP debería ser más fácil que probar P! = NP :
- Separar NP del espacio logarítmico. Di cuatro enfoques en una encuesta previa al blog de 2001 sobre la diagonalización (Sección 3), aunque ninguno ha funcionado. Debería ser mucho más fácil que separar P de NP.
La Sección 3 de la encuesta vinculada afirma que no hay resultados significativos de colapso del oráculo:
Mientras que la pregunta P! = NP sigue siendo bastante formidable, la pregunta L! = NP parece mucho más manejable. No tenemos motivos para pensar que esta pregunta sea difícil. La falta de buenos modelos de relativización para el espacio significa que no tenemos un modelo de oráculo significativo donde L y NP colapsan. Además, dado que L es una clase uniforme, no se aplican las limitaciones de Razborov-Rudich [RR97].
Una pregunta sobre las barreras de relativización conocidas para L! = NP en este sitio recibió una respuesta que señalaba que el problema TQBF completo de PSPACE se puede usar como oráculo para obtener tal colapso. Una objeción sobre si este fue un modelo de oráculo significativo parece ser respondida también.
Pero incluso si entendiera por qué "no tenemos un modelo de oráculo significativo en el que el colapso de L y NP" deba considerarse como una afirmación correcta, todavía tendría mis dudas sobre si probar L! = NP es más factible que probar P! = NOTARIO PÚBLICO. Si probar L! = NP debería ser realmente más fácil que probar P! = NP, entonces probar ALogTime! = PH definitivamente debería estar al alcance. (El artículo de la encuesta sugiere la posibilidad de separar de L. ) Supongo que ALogTime! = PH todavía está abierto, y me gustaría saber si hay buenas razones para esperar que sea difícil de probar.
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Respuestas:
No estoy seguro de por qué Fortnow dice que "no hay un modelo significativo donde y N P colapsen" ... me parece que QBF debería hacerlos colapsar, según el modelo habitual de oráculo Ruzzo-Simon-Tompa (y el enlace que incluyó está de acuerdo). Tenga en cuenta que este modelo de oráculo también tiene sus peculiaridades: tenemos L = N L si y solo si L A = N L A para cada oráculo AL nortePAG L = NL LUN= NLUN UN , por lo que cualquier oráculo que presencia una separación implicaría la separación no relativizada.
Más allá de eso, no conozco ninguna razón particular para creer que sea "difícil de probar", aparte de la observación de que muchas personas lo han intentado y ninguna ha tenido éxito todavía.
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Una idea ingenua para probar ALogTime! = PH: El problema del valor de la fórmula booleana es completo para ALogTime bajo reducciones de tiempo de registro deterministas . Por lo tanto, si ALogTime = PH, entonces PH = coNP = ALogTime y, por lo tanto, el problema del valor de la fórmula booleana se completaría con reducciones de tiempo de registro deterministas para coNP. Por lo tanto, habría una reducción determinista del tiempo de registro del problema de tautología al problema del valor de la fórmula booleana.
Las reducciones de tiempo de registro deterministas deben ser inofensivas, no pueden contribuir mucho a la solución del problema de tautología. Son solo una buena formalización de lo que significa que una reducción solo puede funcionar muy localmente. Por lo tanto, la tarea restante es comprender por qué el problema de la tautología no puede convertirse en un problema de valor de fórmula booleana mediante reducciones muy locales. Todavía no veo cómo hacerlo, pero al menos la tarea restante es muy clara, por lo que tengo al menos la oportunidad de entender por qué es difícil (o no).
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