Contar el número de coincidencias perfectas en un gráfico bipartito se puede reducir de inmediato a calcular el permanente. Dado que encontrar una coincidencia perfecta en un gráfico no bipartito está en NP, existe una reducción de los gráficos no bipartitos al permanente, pero puede implicar una explosión polinómica desagradable al usar la reducción de Cook a SAT y luego el teorema de Valiant para reducir al permanente.
Una reducción eficiente y natural de un gráfico no bipartito G a una matriz A = f ( G ) donde perm ( A ) = Φ ( G ) sería útil para una implementación real para contar coincidencias perfectas mediante el uso existente, altamente optimizado bibliotecas que computan lo permanente.
Actualizado: agregué una recompensa por una respuesta que incluye una función computable eficientemente para llevar un gráfico arbitrario a un gráfico bipartito H con el mismo número de coincidencias perfectas y no más de vértices O ( n 2 ) .
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Respuestas:
Yo diría que una reducción "simple" a la coincidencia bipartita es altamente improbable. En primer lugar, daría un algoritmo para encontrar una coincidencia perfecta en un gráfico general utilizando el método húngaro. Por lo tanto, la reducción debe contener toda la complejidad del algoritmo de flor de Edmond. En segundo lugar, dará un LP compacto para un politopo de coincidencia perfecta y, por lo tanto, la reducción no debe ser simétrica (que se descarta como resultado de Yannakakis) e inherentemente muy complicada.
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Obviamente, esto es un comentario y no una respuesta, pero todavía no tengo puntos de reputación aquí, lo siento mucho.
Para los gráficos sin puente cúbicos no bipartitos, existen exponencialmente muchas coincidencias perfectas, como conjeturaron Lovàsz y Plummer en los años 70. El trabajo está en preparación. Esto puede ser muy relevante para su pregunta, o tal vez no del todo.
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