Incluso si decidir la positividad de los coeficientes de Kronecker es NP-duro, o incluso si no hay una fórmula positiva general para ellos, todavía es posible que el GCT "funcione". Incluso bajo el supuesto anterior, todavía es posible que exista una fórmula positiva (e incluso un procedimiento de decisión en tiempo polinómico) para algunos de los coeficientes rectangulares de Kronecker. Si se pudiera encontrar una fórmula de este tipo, y luego mostrar que las representaciones irreducibles correspondientes aparecen con multiplicidad distinta de cero en el anillo de coordenadas del cierre de la órbita de un permanente de tamaño apropiado, aún demostraría la conjetura permanente (fuerte) versus determinante.
Actualización 30/8/15 : Debo agregar que, independientemente de las fórmulas combinatorias positivas, creo que el enfoque geométrico de la complejidad, como en GCT, es una forma muy útil de comprender la estructura de las clases de complejidad y usar la teoría de la representación donde naturalmente surge (como aquí) siempre es una buena idea. El trabajo de Landsberg en esta área es notable en esta dirección (es decir, utilizando técnicas geométricas combinadas con la teoría de la representación, incluso en ausencia de fórmulas combinatorias positivas). [actualización final]
[Ahora volvamos a las fórmulas combinatorias positivas ...] Incluso si más y más coeficientes de Kronecker terminan siendo NP-difíciles de decidir su desaparición, o si no hay una fórmula combinatoria positiva para ellos, (a) es simplemente un testamento a qué tan difíciles son estos problemas (después de todo, mientras que GCT supera las barreras conocidas, todavía tiene como objetivo probar algunos problemas abiertos muy difíciles), y / o (b) sugiere dónde limitar el enfoque para lograr que GCT funcione trabajo (por ejemplo, como arriba).
Además, aunque la dureza NP es "malas noticias" en general, no es necesariamente el final del camino. Por ejemplo, aunque el ciclo hamiltoniano es NP-duro, todavía hay muchos teoremas y conocimientos teóricos sobre los ciclos hamiltonianos. La dureza NP solo lleva a uno (o al menos a mí) a esperar que nunca habrá una "teoría completa de los ciclos hamiltonianos". Pero no se necesita una "teoría completa de los coeficientes de Kronecker" para demostrar un límite inferior a través de GCT: solo se necesita una familia de representaciones que desaparezcan en el cierre de la órbita del determinante pero no en el cierre de la órbita del permanente.
(Esta respuesta también se aplica al artículo reciente de Kahle y Michalek que muestra que hay familias de multiplicidades de pletismo que no están dadas por el número de puntos enteros en una familia natural de politopos).
