¿P / poly

N P ⊆ P / p o l $P/poly = NP/poly$ implica , que a su vez tiene consecuencias interesantes como el colapso de la jerarquía polinómica.$NP \subseteq P/poly$

¿Hay implicaciones interesantes para ?$P/poly \neq NP/poly$

El comentario de Emil Jeřábek responde a la pregunta:

P / poly NP / poly es equivalente a NP P / poly$=$$\subseteq$

Tenga en cuenta el corolario

P / poly NP / poly implica P NP.$\neq$$\neq$

Prueba de corolario:

1. P / poly NP / poly es equivalente a NP P / poly (comentario de Emil)$=$$\subseteq$$\ $
2. NP P / poly implica P / poly NP / poly (implicado por 1.)$\subseteq$$=$$\ $
3. P / poly NP / poly implica NP P / poly (equivalente a 2.)$\neq$$\not\subseteq$$\ $
4. NP P / poly implica P NP (P P / poly)≠ $\not\subseteq$$\neq$$\ $$\subseteq$
5. P / poly NP / poly implica P NP (implicado por 3. y 4.)$\neq$$\neq$$\ $

Prueba del comentario de Emil: es suficiente demostrar que NP P / poly implica P / poly NP / poly.$\subseteq$$=$

1. Entonces supongamos NP P / poly.$\subseteq$
2. Debido a que SAT NP existe y una secuencia de cadenas de consejos con , un algoritmo determinista que puede decida instancias SAT de tamaño en el tiempo , si tiene acceso a . WLOG, ese algoritmo también puede decidir instancias SAT de tamaño , porque podemos definir una secuencia modificada con , donde todas las cadenas de consejos anteriores se incluyen en .p S A T ≥ k S A T > 0 s $\in$$p_{SAT}\geq k_{SAT}>0$$s_n$$\left|s_n\right|\leq n^{k_{SAT}}$$n$$\leq n^{p_{SAT}}$$s_n$$\leq n$$s'_n=s'_{n-1}s_n$$\left|s'_n\right|\leq n^{k_{SAT}+1}$$s'_n$
3. Ahora dejemos que NP / poly sea un lenguaje arbitrario, para lo cual necesitamos mostrar P / poly. Existe y una secuencia de cadenas de consejos con y un algoritmo no determinista que puede decidir instancias de tamaño en el tiempo , si tiene acceso a .$L\in$$L\in$$p_L\geq k_L>0$$l_n$$\left|l_n\right|\leq n^{k_L}$$L$$n$$\leq n^{p_L}$$l_n$
4. Para cada con , una instancia de SAT de tamaño puede ser calculada (en tiempo ) que es satisfiable exactamente si .$w$$|w|=n$$\leq c\cdot n^{p_L}$$O(n^{p_L})$$w\in L$
5. Entonces, para la secuencia de cadenas de consejos con , la combinación de los algoritmos deterministas de 2. y 4. proporciona un algoritmo determinista que puede decidir instancias de tamaño en el tiempo , si tiene acceso a . | t n | ≤ n k L + ( c ⋅ n p L ) k S A T L n O ( ( c ⋅ n p L ) p S A T ) t $t_n=l_ns_{c\cdot n^{p_L}}$$|t_n|\leq n^{k_L}+(c\cdot n^{p_L})^{k_{SAT}}$$L$$n$$O((c\cdot n^{p_L})^{p_{SAT}})$$t_n$
6. Debido a que NP / poly era un lenguaje arbitrario, esto muestra NP / poly P / poly, bajo el supuesto de que NP P / poly.⊆ $L\in$$\subseteq$$\subseteq$

Todas las pruebas anteriores se relativizan, porque la existencia de problemas NP-completos también es cierta en mundos relativizados. Esto sugiere que es inútil buscar una prueba de que P / poly NP / poly. Sin embargo, resumamos la sección de motivación eliminada$\neq$de la pregunta "La cadena de consejos podría ser un sistema axiomático formal (se garantiza automáticamente que es consistente, una sonrisa maligna) cuya fuerza aumenta rápidamente con la longitud de entrada, y NP es extremadamente bueno para explotar este consejo". Si uno no tiene mucho cuidado de que "la existencia de una secuencia de picaduras de consejos" solo tenga un significado "formal" en relación con un sistema formal fijo, es probable que esa configuración permita la construcción de paradojas aparentes. Sin embargo, la construcción de tales paradojas podría ser divertida, y tal vez incluso podrían sugerir formas de construir pruebas de independencia (para sistemas formales suficientemente débiles).