¿Contando el número de ciclos hamiltonianos en gráficos cúbicos hamiltonianos?

Es duro encontrar una aproximación de factor constante del ciclo más largo en gráficos hamiltonianos cúbicos. Los gráficos hamiltonianos cúbicos tienen al menos dos ciclos hamiltonianos.$NP$

¿Cuáles son los límites superior e inferior más conocidos en el número de ciclos hamiltonianos en gráficos hamiltonianos cúbicos? Dado un gráfico hamiltoniano cúbico, ¿cuál es la complejidad de encontrar el número de ciclos hamiltonianos? ¿Es # duro?$P$

Contar circuitos hamiltonianos en un gráfico hamiltoniano de 3 regulares es # P-completo, como sigue.

Bosquejo de prueba . La membresía en #P es trivial, por lo que solo mostraremos la dureza # P.

La sección 3 de Liśkiewicz, Ogihara y Toda [LOT03] muestra que contar circuitos hamiltonianos en un gráfico 3-regular (y de hecho plano al mismo tiempo) es # P-completo. Además, su reducción de # 3SAT asigna una fórmula 3CNF satisfactoria a gráficos hamiltonianos. Por lo tanto, puede reducir # 3SAT a contar circuitos hamiltonianos en un gráfico hamiltoniano de 3 regulares agregando primero una solución trivial a una fórmula 3CNF dada y luego reduciéndola a contar circuitos hamiltonianos utilizando la reducción en [LOT03]. QED .

[LOT03] Maciej Liśkiewicz, Mitsunori Ogihara y Seinosuke Toda. La complejidad de contar caminatas que se evitan en subgrafías de cuadrículas bidimensionales e hipercubos. Informática teórica , 304 (1–3): 129–156, julio de 2003. http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

$2^{3n/8}$$2^{n/3}$$2^{n/3}$$1.276^n$

$2^{n/2}$

Algunos gráficos tienen exactamente tres circuitos hamiltonianos:

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abstract

Si uno comienza con el gráfico plano del tetraedro, que contiene exactamente tres circuitos hamiltonianos, y crea un nuevo gráfico plano de 3 conexiones truncando un solo vértice, se obtiene un nuevo gráfico que tiene exactamente tres circuitos hamiltonianos. Si uno continúa truncando un vértice a la vez, obtiene una familia de gráficos con exactamente tres circuitos hamiltonianos.

Comentario adicional:

También se ha trabajado en la cuestión de qué gráficos distintos de los ciclos tienen exactamente un circuito de hamiltonion:

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abstract

Una muy buena encuesta sobre circuitos hamltionianos en tipos especiales de gráficos que tiene una sección que trata con números de circuitos hamiltonianos, y corrige algunos problemas con el documento anterior es:

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf