¿Por qué los gráficos de Ramanujan llevan el nombre de Ramanujan?

Respuestas:

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Para agregar contenido a las respuestas aquí, explicaré brevemente cuál es la conjetura de Ramanujan.

En primer lugar, la conjetura de Ramanujan es en realidad un teorema, probado por Eichler e Igusa. Aquí hay una forma de decirlo. Sea el número de soluciones integrales para la ecuación cuadrática . Si , ese fue, por supuesto, probado por Legendre, pero Jacobi dio el recuento exacto: . No se sabe nada exactamente igual para m más grande, pero Ramanujan conjeturó el límite: r_m (n) = c_m \ sum_ {d \ mid n} d + O (n ^ {1/2 + \ epsilon}) para cada \ epsilon> 0 , donde c_m es una constante dependiente solo de mrm(n)x12+m2x22+m2x32+m2x42=nm=1rm(n)>0r1(n)=8dn,4ddmrm(n)=cmdnd+O(n1/2+ϵ)ϵ>0cmm.

Lubtozky, Phillips y Sarnak construyeron sus expansores basados ​​en este resultado. No estoy familiarizado con los detalles de su análisis, pero creo que la idea básica es construir un gráfico Cayley de PSL(2,Zq) para un primo q que 1mod4 , utilizando generadores determinados por cada suma de descomposición de cuatro cuadrados de p , donde p es un residuo cuadrático módulo q . Luego, relacionan los valores propios de este gráfico de Cayley con r2q(pk) para las potencias enteras k .

Una referencia, que no sea el documento de Lubotzky-Phillips-Sarnak en sí, es la breve descripción de Noga Alon en Tools from Higher Algebra .

arnab
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2
bonito ! gran respuesta.
Suresh Venkat
21

Wikipedia ofrece esta respuesta con bastante rapidez. Citando

Las construcciones de los gráficos de Ramanujan son a menudo algebraicas. Lubotzky, Phillips y Sarnak muestran cómo construir una familia infinita de gráficos Ramanujan regulares , siempre que sea ​​primo. Su prueba utiliza la conjetura de Ramanujan , que llevó al nombre de los gráficos de Ramanujan.p+1p=1mod4

El documento al que se hace referencia son los gráficos de Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips y P. Sarnak, COMBINATORICA Volumen 8, Número 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.

Dave Clarke
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la pregunta es: ¿cuál es la conjetura ramanujan?
Suresh Venkat
A veces es mucho mejor preservar los enlaces cuando cotizas.
Tsuyoshi Ito
En efecto. Subestimé la seriedad de la pregunta.
Dave Clarke