La forma habitual de demostrar la indecidibilidad es mediante la reducción de un problema RE-completo, como el problema de detención, la validez en la lógica de primer orden, la satisfacción de las ecuaciones de diofantina, etc.
Se sabe que hay problemas recursivamente enumerables, pero indecidibles que no son RE-completos, pero son construcciones artificiales (es decir, conjuntos que se han definido solo para mostrar este resultado de "densidad").
¿Cómo abordaría probar la indecidibilidad sin la reducción de un problema RE-completo? Diagonalización
computability
David Monniaux
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Respuestas:
Se puede demostrar de manera bastante directa que la complejidad de Kolmogorov no es computable, ver, por ejemplo, Sipser, tercera edición, problema 6.23.
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Considere lo que me gusta llamar el problema de GUESSING CONSISTENTE.
(Por supuesto, este no es un lenguaje, sino más bien un análogo de computabilidad de un problema prometedor).
Ahora, mediante una modificación de la prueba original de Turing, es bastante fácil demostrar que GUESSING CONSISTENTE es indecidible (lo dejaré como un ejercicio para usted).
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Si lo que está buscando es una prueba de que no es a) reducción de un problema completo conocido, ni b) diagonalización directa (que sus diversos comentarios indican que es), entonces, hasta donde sé, no tiene suerte. Todas las pruebas que conozco no son por reducción, incluidas las de las otras excelentes respuestas dadas aquí por Aaronson y Kjos-Hanssen, proceden por diagonalización directa.
Y todas esas diagonalizaciones son esencialmente la misma prueba . Algunas de ellas son variantes leves en la prueba que producen declaraciones ligeramente más fuertes / débiles, pero las pruebas en sí mismas son típicamente variaciones muy leves. (Y todas estas pruebas son esencialmente las mismas que la prueba original de Cantor sobre las cardinalidades, que es lo mismo que las pruebas de la incompletitud de Godel y Chaitin, que son todas las versiones teóricas de la paradoja de Russell ... Tanto es así que a la una Me preguntaba si uno podría formalizar de alguna forma matemática inversa un teorema que dijera que esencialmente solo había una prueba de este tipo).
Sin embargo, puede valer la pena señalar que existen pruebas de otras afirmaciones, generalmente de un sabor diferente, que son diagonalizaciones que son realmente, realmente, demostrablemente diferentes a la diagonalización utilizada para probar, por ejemplo, la indecidibilidad del problema de detención.
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